Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung gibt, die ...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sic, dass es genau cine lineare Abbildung \( \varphi: R^{3} \rightarrow R^{3} \) gibt, die

\( \left(\begin{array}{r} 6 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{r} -3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right),\left(\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ -3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{r} 4 \\ -4 \\ 6 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{r} 5 \\ -8 \\ 12 \end{array}\right) \)

erfüllt. Ist \( \varphi \) ein Isomorphismus?

Problem/Ansatz:

Ich komme auf A= (−3  6 -3

4 -4  6

5 -8 12)

also die f(e1), f(e2), f(e3), die Bilder von f unter der Standardbasis. Ist mein Ansatz korrekt oder muss ich etwas korrigieren?

Answer 1

Du brauchst die Bilder von der Standardbasis, aber

das sind nicht die, die da gegeben sind. Es ist

\( A \cdot \left(\begin{array}{r} 6 \\ 1 \\ -2 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} -3 \\ 6 \\ -3 \end{array}\right) \)  etc.

Das kannst du zu einer Matrixgleichung zusammenziehen

\( A \cdot \left(\begin{array}{r} 6&-1&1 \\ 1&2&3 \\ -2 &-3&6\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} -3 &4&5\\ 6&-4&-8\\ -3&6&12 \end{array}\right) \)

und bekommst dann

\( A =\left(\begin{array}{r} -3 &4&5\\ 6&-4&-8\\ -3&6&12 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r} 6&-1&1 \\ 1&2&3 \\ -2 &-3&6\end{array}\right)^{-1}  \)

Comments

Vielen Dank für die Erklärung! Ich verstehe es jetzt