Zeigen, dass lineare Abbildung bijektiv ist

Question

Aufgabe:

(d) Ein Endomorphismus \( p: V \rightarrow V \) mit pop \( =p \) nennt man einen Projektor.
Sei
\( \mathfrak{M}:=\left\{\left(U_{1}, U_{2}\right) | U_{1}, U_{2} \text { sind Untervektorräume von } V \text { mit } U_{1} \oplus U_{2}=V\right\} \)
Zeigen Sie, dass die Abbildung
\( \mathfrak{M} \longrightarrow\{p \in \operatorname{Hom}(V, V) | p \text { ist Projektor }\},\left(U_{1}, U_{2}\right) \mapsto p_{\left(V_{1}, U_{2}\right)} \)
bijektiv ist.

Comments

Wie ist p(V1,U2) definiert? Was ist V1? Was hast du bereits selbst versucht?

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Meinst du p(U1, U2) ? Also V ist ein n-dimensionaler Vektorraum, und ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht zurecht, weil gar keine Abbildungsvorschrift gegeben ist

Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass

f surjektiv ⇔ im f = [Zielmenge]

f injektiv ⇔  ker f = 0

Aber auch das hat mich nicht so wirklich weitergebracht... Kannst du mir bitte, bitte helfen? Ich glaube, hier ist irgendein Trick vonnöten

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Die Aufgabe macht Sinn, wenn für eine lineare Abbildung φ : A→B bei der Indizierung φ_C,D C den Kern und D das Bild von φ angeben.

Du musst also zu gegebenem Unterraumpaar eine geeignete Projektion konstruieren und umgekehrt zu einer Projektion ein Unterraumpaar mit den geforderten Eigenschaften angeben.

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Hm... ach, entschuldige, in meiner Aufgabenbeschreibung steckt ein Fehler! Es muss \(p_{(U_1, U_2)} \)  sein - nicht  \(p_{(V_1, U_2)} \)!

Das \(_{U1, U2} \) im Index von p bedeutet also, dass U1 der Kern von p und U2 das Bild von p ist? Bist du dir da sicher?

Auf jeden Fall ist es echt lieb von dir, dass du mir hilfst

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Also eine der vorherigen Teilaufgaben lautet so. Vielleicht hängen die Teilaufgaben ja zusammen, was meinst du?

 Sei  \(V \) ein \(K \) -Vektorraum und seien \( {U_{1}, U_{2}} \) Untervektorräume von \( V \) mit \( U_{1}+U_{2}=V \) und \( U_{1} \cap U_{2}=0 . \) (V heisst dann die innere direkte Summe von \( U_{1} \) und \( U_{2} \). Schreibweise: \( V=U_{1} \oplus U_{2} \) ).

 (b) Wir definieren \( p=p_{\left(U_{1}, V_{2}\right)}: V \rightarrow V \) durch \( p(v):=u_{2} . \) Zeigen Sie: \( (\mathbf{i}) \) \( p \) ist linear, (ii) \( p \circ p=p, \) (iii) \( \operatorname{Kern}(p)=U_{1},(\text { iv }) \) Bild \( (p)=U_{2} \)

Answer 1

Mit deinem letzten Post ist doch schon alles klar. Jedem Paar (U1,U2) wird der Projektor mit Kern U1 und Bild U2 zugeordnet. Wie das in der vorigen Aufgabe gemacht wurde. Surjektiv ist das, weil jeder Projektor mit seinem Kern und Bild eine direkte Summe von V erzeugt.  Injektiv, weil Projektoren mit gleichem Kern und Bild übereinstimmen.

Comments

Ahh, danke!!!

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Also seid ihr euch alle sicher, dass  das (U1, U2) in \(p_{(U_1, U_2)}\) dafür steht, dass U1 = Kern von p und U2 = Bild von p ?

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Ja, das war doch die Aufgabe vorher.

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Stimmt, sorry, war gerade durcheinander

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Also deinen Beweis für die Surjektivität verstehe ich leider nicht ganz. Sei also \(p\) ein beliebiger Homomorphismus von V nach V, d.h. \(p\) ein beliebiges Element der Zielmenge. Was folgt daraus nun?

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Sei also pp ein beliebiger Homomorphismus ( nein Projektor; denn die Zielmenge ist

ja die Menge der Projektoren.) von V nach V, d.h. pp ein beliebiges Element der Zielmenge.

Dann hat der einen Kern U1 und ein Bild U2 . Und es ist V deren direkte Summe, also

ist pp das Bild von (U1;U2) unter der gegebenen Abbildung.

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Danke, aber die Zielmenge besteht doch aus beliebigen Projektoren von V nach V. Woher wissen wir also, dass p einen Kern U1 und ein Bild U2 hat? Es gibt doch bestimmt Projektoren, bei denen das  nicht der Fall ist, oder?