Zeigen dass es keine lineare Abbildung gibt

Question

Leider kommen meine Hausaufgaben Partnerin und ich bei dieser Aufgabe gar nicht weiter.

Wir sind für jede Anregung dankbar!

Folgende Frage:

Sei \( \mathbb{F} \) ein Körper. Zeigen Sie, dass es keine lineare Abbildung \( T: \mathbb{F}^{6} \rightarrow \mathbb{F}^{3} \) gibt mit
\( \operatorname{null}(T)=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}\right) \in \mathbb{F}^{6}: x_{2}=2 x_{1}=x_{3} \text { und } x_{4}=x_{5}=2 x_{6}\right\} \)

Answer 1

null(T) ist wohl das, was oft auch als Kern(T) bezeichnet wird.

Da gilt bei linearen Abbildungen f:V→W der Dimensionsatz

dim Kern(f)  +  dim Bild(f) =  dim V

Hier ist dim Kern (f) = 2   und dim V = 6

also müsste dim Bild (f) = 4 sein.

Andererseits ist aber Bild(f) ein Unterraum von W, hier also

von F³. Der ist 3-dimensional, kann also keinen 4-dim

Unterraum haben-