Wurzelkriterium bei Reihen

Question

Hallo ihr Lieben

ich hofe ihr könnt mir helfen ...ich versuche es so geht es geht wiederzugeben

also ich habe folgenden Term auf den ich das Wurzelkriterium anwenden möchte

$$\lim\limits_{x\to\infty}(\frac{1}{5^i})$$

wird zu (1)

$$\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{| (\frac{1}{5^i})^i |}$$

wird zu (2)

$$\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{ (\frac{1}{5})^i }$$

Ich verstehe nicht wie es von (1) zu (2) funktioniert das mein 5ⁱ im Nenner plötzlich gleichzeitig mit dem Betragsstich wegfallen können? Welche Regel wird hier angewandt? Ich komme leider nicht weiter

Comments

hm also dieses verfahren steht in meinem Buch und in der Lösung

ich habe alledings eben vergessen aufzuschreiben dass ich die i-te Wurzel ziehe ...daher müsste das Potenzgesetz im Zusammenhang mit der Wurzel widerum stimmen.

der schritt von (1) zu (2) steht genauso in meiner Lösung, an der es (laut Aussage) auch keinen Markel gibt......

Ich komme aber nicht drauf .

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Answer 1

du wendest das Kriterium nicht richtig an. Es muss so aussehen:

$$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}= \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\Bigg|\frac{1}{5^k}\Bigg|}=\limsup_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{|1|}}{5}=\frac{1}{5}<1$$

Und damit ist diese Reihe (absolut) konvergent.

Außerdem ist der Ausdruck bei (1) was völlig anderes, weil du die Potenzgesetze falsch angewandt hast.

$$\frac{1}{5^i}\neq\Bigg(\frac{1}{5^i}\Bigg)^i=\frac{1}{5^{i^2}}$$

Comments

meine Frage steht oben drüber nochmal besser geschrieben TS0306 .... habe vergessen auf kommentieren zu klicken ...vllt kannst du mir das nochmal erklären ...

verstehe nicht wo bein 5ⁱ im Nenner hin verschwinden

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Die haben im Buch ein Fehler gemacht. Beim ersten Limesausdruck ist ein i zu viel drin. Nach dem Buch sollte es so sein:

$$\limsup_{i \to \infty}\sqrt[i]{\Bigg|\frac{1}{5^i}\Bigg|}=\limsup_{i \to \infty} \sqrt[i]{\Bigg|\Bigg(\frac{1}{5}\Bigg)^i\Bigg|}=\limsup_{i \to \infty} \frac{1}{5}=\frac{1}{5}<1$$