wassertemperatur von bach in den eine flasche von 30c getaucht, die nach 2 min auf 28c und nach 4min auf 26.2c abkühlt

Question

eine 30°C warme flasche wird in einen bach getaucht

nach zwei minuten ist die flasche 28°C und nach weiteren zwei minuten 26.2°C

welche temperatur hat der bach?

Answer 1

Die Geschwindigkeit, mit der sich die Flasche abkühlt, ist direkt proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Flasche und dem Wasser in dem Bach. $\vartheta_B$ sei die Temperatur des Bachs. Die Temperaturdifferenz nach den ersten zwei Minuten ist $$\Delta \vartheta_1 = 2° \, \propto 30° - \vartheta_B$$

und nach den nächsten zwei Minuten ist $$\Delta \vartheta_2 = 1,8° \, \propto 28° - \vartheta_B$$ $$\Rightarrow \frac{30° - \vartheta_B}{2°} = \frac{28° - \vartheta_B}{1,8°}$$ löse die Gleichung nach $\vartheta_B$ auf und Du erhältst $$\vartheta_B =10°$$

Alternative Lösung: Man kann davon ausgehen, dass die Temperatur $\vartheta_F$ in der Flasche sich nach einer Exponentialfunktion in Abhängigkeit der Zeit $t$ verändert. Derart $$\vartheta_F = (\vartheta_0 - \vartheta_B) \cdot q^{t} + \vartheta_B$$ $q$ ist ein Paramter $q < 1$ der die Geschwindigkeit der Abkühlung beschreibt; $t$ in Minuten und $\vartheta_0 = 30°$. Nun ist ja $$\begin{aligned} \vartheta_F(0) &= (\vartheta_0 - \vartheta_B) \cdot q^{0} + \vartheta_B = 30° \\ \vartheta_F(2) &= (\vartheta_0 - \vartheta_B) \cdot q^{2} + \vartheta_B = 28° \\ \vartheta_F(4) &= (\vartheta_0 - \vartheta_B) \cdot q^{4} + \vartheta_B = 26,2°\end{aligned}$$ Ziehe bei allen drei Gleichungen das $\vartheta_B$ ab und dividiere die zweite durch die erste und dann die dritte durch die zweite Gleichung: $$q^2 = \frac{28° - \vartheta_B}{30° - \vartheta_B}; \quad q^2 = \frac{26,2° - \vartheta_B}{28° - \vartheta_B}$$ diese kannst Du nun gleich setzen und am Ende erhältst Du auch hier $\vartheta_B = 10°$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 20·√(0,9)^x+10Zoom: x(-1…30) y(-1…32)P(2|28)P(4|26,2)f₂(x) = 10

Der Temperaturverlauf von $\vartheta_F$ (blau)

Answer 2

Hallo

die Temperaturänderung also T'(t) ist proportional der Differenz zwischen momentaner Temperatur und Umgebungstemperatur.

Also T'(t)=k(T(t)_T_B), die Lösung der Dgl kennst du hoffentlich. setz die 2 gegebenen Werte ein. um die Konstanten zu bestimmen also T(0)=30°, T(2)=28° T(4)=26,2°

für t-> unendlich wird die bachtemperatur erreicht.

Gruß lul

Comments

ich habe bereits die musterlösung aber ich verstehe das markierte nicht, also wieso 30 und nicht 26.2 steht?

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Das entspricht in etwa meiner alternativen Lösung (s. meine Antwort). Für die Unbekannte wird sowohl $x$ als auch $T_B$ benutzt.

Aus der ersten Gleichung folgt

$$\frac{28 - T_B}{30 - T_B} =a^2$$

dieser Term wird quadriert und das $a^4$ in die zweite Gleichung eingesetzt. Im Nenner steht fälschlicherwiese eine hoch-4; muss aber hoch-2 heißen. Auf beiden Seiten der zweiten Gleichung wird noch $T_B$ addiert.