Zu berechnen ist folgendes Integral: I_n+1 = ∫ e^{ -t} t n dt für n ∈ ℕ0 von t=0 bis unendlich

Question

Zu folgender Zusatzaufgabe finde ich keine Lösung. Wäre super nett wenn mir das jemand vorrechnen würde.

           _∞

I_n+1 = ∫   e ^-t  t ⁿ dt für n ∈ ℕ₀

         ⁰

Answer 1

I₀₊₁ = ∫_0..∞ e^-t t⁰  dt = ∫_0..∞ e^-t dt = lim_x→∞ ((-e^-x) - (-e⁰)) = e⁰ = 1 = 0! .

Verwende partielle Integration

        ∫_a..b u(t)v'(t) dt = [u(t)v(t)]_a..b - ∫_a..b u'(t)v(t) dt

mit u(t) = tⁿ und v'(t) = e^-t um

        I_(n+1)+1 = (n+1)·I_n+1

zu zeigen.

Somit ist I_n+1 = n! .

Weitere Informationen findest du, wenn du nach Gammafunktion suchst.

Comments

Hier findest du alles was du wissen musst:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion

Answer 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+e%5E(-t)*t%5En+from+0+to+n

Comments

Schon die Eingabe an Wolframalpha ist verkehrt. Dann kann der Ergebnis kaum richtig sein.