a und b so bestimmen, dass Funktion f in x0 differenzierbar ist

Question

Hi
Ich brauche hier einen kleinen Anstoss

f(x) = ax^3- 5x , x<= x0
.          x-b , x >x0
mit x0 = 1

Wähle a und b so, dass die Funktion in x0 differenzierbar ist

Ich hätte nun folgendes gemacht:

für x in beiden Gleichungen 1 eingesetzt, dann eine von beiden ( 1.) nach a aufgelöst und in b eingesetzt, so dann b ermittelt und wiederum das Ergebnis in 1. eingesetzt.
a = 0, b= 6 wäre mein Ergebnis.

Meine Frage nun: stimmt das? und wenn ja, was genau muss ich mit der Bedingung das x>x0 und x<=x0 sein muss anfangen?

Herzlichen Dank

Answer 1

Tipp:  Setze  u(x) = a·x³ - 5·x  und  v(x) = x - b.
Wenn  f  differenzierbar in  x₀ = 1  sein soll, muss  f  dort insbesondere stetig sein, d.h es muss gelten  u(1) = v(1). Außerdem muss natürlich gelten  u'(1) = v'(1). Daraus berechne  a  und  b.

Comments

Das würde dann heissen, mein Ansatz ist richtig oder?

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Nur der erste Teil. Beachte, dass auch die Ableitungen an der Stelle  x₀ = 1 übereinstimmen müssen.
Aus  u(1) = v(1)  folgt  a - 5 = 1 - b.
Aus  u'(1) = v'(1)  folgt  3·a - 5 = 1.
Die letzte Gleichung liefert  a = 2. Dies in die erste Gleichung eingesetzt liefert  b = 4.

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Ach so, jetzt habe ich es verstanden :-)
Herzlichen Dank für deine Hilfe.

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Wieso darf man in v() einfach 1 einsetzen, obwohl die 1 für

V(x) = x-b

Garnicht definiert ist ? (Nur definiert für x>x0)