zeigen Sie das f in x0 differenzierbar ist und berechnen sie die Ableitung von f(x0)

Question

Aufgabe:Sei f,g : R -> R mit f(x) = x(g(x)) für alle x aus R und so das g in x0 = 0  stetig ist. zeigen Sie das f in x0 differenzierbar ist und berechnen sie die Ableitung von f(x0)

Problem/Ansatz: Das g in 0 stetig ist ist eine notwendige aber nicht hinreichende Begründung für die Differenzierbarkeit, wie kann ich ohne die Funktion zu kennen dann auf die Differenzierbarkeit schließen ?

Comments

Schau dir mal

$$ \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{hg(h)-0g(0)}{h} = g(h) $$

an und überprüfe ob der Limes für \( h \to 0 \) existiert. Falls er existiert ist die Funktion in \( x_0 = 0 \) differenzierbar und der Grenzwert ist die Ableitung \( f'(0) \).

---

Ok Danke, das werde ich machen

Answer 1

Der Differenzenquotient   (f(0+h) - f(0) ) / h bei xo=0

ist gleich g(h).

Da g bei 0 stetig ist , ist der Grenzwert von g(h) für h gegen 0

gleich g(0) = 0. Und das ist dann auch f ' (0).