Zeigen das eine Funktion differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Hallo ich soll beweisen, dass diese Funktion differenzierbar, aber nicht glatt ist.

Text erkannt:

\( \left\{\begin{array}{ll}x^{2} \cos (x), & x \geq 0 \\ 0, & x<0\end{array}\right. \)

Für denn Fall x ungleich 0 ist es klar, dass es differenzierbar ist. Für den Fall x= 0 habe ich es mit dem Differentialquotienten gezeigt. Nun ist meine Aufgabe, zu beweisen wieso diese Funktion nicht glatt ist. Glatt bedeutet, dass eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist. Wollen die also das ich es mehrmals ableite ?

Answer 1

Aloha :)

Die Differenzierbarkeit der Funktion an der Stelle \(x=0\) hast du ja bereits gezeigt:$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{x^2\cos(x)-0}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\left(x\cos(x)\right)=0$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\nearrow0}0=0$$Der links- und der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten sind identisch.\(\quad\checkmark\)

Die Ableitung der Funktion lautet daher:$$f'(x)=\left\{\begin{array}{c}2x\cos(x)-x^2\sin(x)&\text{für }x>0\\0 & \text{für }x\le 0\end{array}\right.$$

Damit die Funktion glatt ist, muss insbesondere die zweite Ableitung an der Stelle \(x=0\) existieren. Dazu prüfen wir wieder den links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten:$$\lim\limits_{x\searrow0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\searrow0}\frac{2x\cos(x)-x^2\sin(x)}{x}=\lim\limits_{x\searrow0}\left(2\cos(x)-x\sin(x)\right)=2$$$$\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\nearrow0}\frac{0-0}{x}=\lim\limits_{x\nearrow0}0=0$$

Die zweite Ableitung \(f''(0)\) exisitert also nicht, weil der links- und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten verschieden sind.

Damit ist die Funktion nicht glatt.

Answer 2

Die zweite Ableitung von x²cos(x) an der Stelle 0 ist 2, und für x<0 ist sie 0.