Question

Man zeige: Ist n eine natürliche Zahl, so ist n(n²-1) durch 6 teilbar.

 Meine erste Übung in Analysis beinhaltet oben stehende Aufgabenstellung. Leider komme ich da nicht ganz weiter und brauche etwas Hilfe. Ich habe schon alle erdenkliche ausprobiert aber komme leider immer nur zum anfang zurück :/.

1. Ansatz:

6x = n * (n² - 1)

Dann komme ich am Ende auf

$$x\quad =\quad \frac { n³\quad -\quad n }{ 6 }$$

2. Ansatz:

Die dritte Binomische Formel versteckt sich ja im (n² - 1).

$$6x\quad =\quad n\quad *\quad (n+1)\quad *\quad (n-1)\\ x\quad =\quad \frac { n³\quad -\quad n }{ 6 }$$

und schonwieder am Anfang ... weiß jemand was man da machen kann? :/

Answer 1

Man zeige: Ist n eine natürliche Zahl, so ist n * (n^2 - 1) durch 6 teilbar.

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist

Wir zerlegen den Term durch die 3. binomische Formel

n * (n^2 - 1) = n * (n - 1) * (n+1)

Damit habe ich das Produkt dreier Aufeinanderfolgenden Zahlen. (n - 1) * (n) * (n + 1)

Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist mind. eine durch 2 und genau eine durch 3 teilbar. Daher ist das Produkt dieser Zahlen durch 2 und durch 3 und damit durch 6 teilbar.

Comments

Warum genau ist genau eine durch 3 teilbar? Muss ich das noch beweisen?

Danke für die schnelle antwort!

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Die Dreierreihe ist die Reihe aller durch 3 teilbaren Zahlen.

3, 6, 9, 12, 15, ...

Zwischen zwei durch 3 Teilbaren Zahlen liegen immer genau 2 durch nicht drei teilbare Zahlen. Damit ist von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen immer genau eine durch 3 teilbar.

Ich denke nicht das man das noch beweisen muss.

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EDIT: Okay jetzt hab ichs verstanden! DANKE! Top Forum hier. Werde mich wohl anmelden :)