Weise nach, dass 82* a^8 - a^4 durch drei aufeinanderfolgende Zahlen teilbar ist

Question

Weise nach, dass es eine natürliche Zahl a>1 gibt, für die der Term 82 * (a (hoch8) - a (hoch4)) durch das Produkt von drei aufeinanderfolgenden und mind. zweistelligen natürlichen Zahlen teilbar ist

Comments

Du meinst \(82(a^8-a^4) \) oder? Faktorisier doch einfach mal den Term, dann sollte dir was auffallen.

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Das ist eine Aufgabe aus der aktuellen Mathematik-Olympiade:

http://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/1/A55101.pdf

Answer 1

ja, meine ich......aber mir fällt nichts auf? Das Ganze soll durch das Produkt drei aufeinanderfolgende natürlicher Zahlen teilbar sein

x(x+1)(x+2) = x³+3x²+2x

und nun?

Answer 2

Man kann den Term einfach faktorisieren. 3. binomische Formel könnte helfen:

82·(a^8 - a^4) = ... (Lösung gelöscht weil aus einer Matheolympiade)

An der Faktorisierung sieht man das der Term durch 3 aufeinanderfolgende Zahlen teilbar ist.

Comments

Ich bin ja der Meinung, dass Lösungen zu aktuellen Matheolympiaden-Aufgaben hier nicht gepostet werden sollten.

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Ja. Da bin ich auch der Meinung. Ich lösche meine Antwort.

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:-)

Was ist so besonders an den Matheolympiaden? Höre gerade zum Ersten mal davon.

Grüße

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Das ist so wie die Olympischen Spiele im Sport.

Da ist es ja auch nicht erwünscht, das Sportler dopen um sich einen Vorteil zu verschaffen.

Wenn man an Wettbewerben teilnimmt, egal welcher Art sollte man vor allem eines sein. Fair. Und dazu gehört eben auch das man die 100 m Kraul alleine schwimmt und nicht schwimmen lässt.

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Da gebe ich dir vollkommen Recht.

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So, die erste Runde wäre dann vorbei, wenn ich mich nicht irre, dann würde mich auch mal interessieren, was da rauskommt...

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Hast du mal 82·(a⁸ - a⁴) vollkommen faktorisiert? Setze dann mal für a einen Wert ein und schau dir die Faktoren an. Sind dabei drei aufeinanderfolgende Zahlen dabei? Dann bist du fertig. Aber bitte nicht hier die Lösung posten.

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82xa^3(a^5-a) ???

Mir fällt nichts auf

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Klammer noch ein a aus und dann Faktorisier die Klammer entsprechend der dritten binomischen Formel.

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82xa^4(a^4-1)

3. binomische. Formel:

(a+b) (a-b)

??

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Sorry hab was vergessen

=a^2-b^2

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Hab's jetzt auch verstanden

Danke

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Falls die Frist für die sog. ,,Mathematik Olympiade" abgelaufen ist...

Ich fand die Aufgabe interessant und hab mir die Aufgaben b) und c) angeschaut

Muss man dort auch so vorgehen?

2. Frage

Was sagt ihr zur Aufgabe 551015

Hier noch ein Link für die Aufgaben

http://www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/55/1/A55101.pdf

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Ich hab leider immer noch nicht verstanden kann jemand helfen?Die Olympiade ist jetzt ja vorbei.

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Wenn die sog. ,,Olympiade" vorbei ist...

Dann schaut doch mal bitte auf mein Kommentar:

„Falls die Frist für die sog. Mathematik....."

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Wenn ich die Aufgabe a fakorisiert und binomische Formel angewendet habe. Woher weiß ich dann welchen Wert a haben könnte ? Es geht ja nicht drum das es ein a, a+1 und a+2 gibt sondern der Nenner soll aus drei Zahlen bestehen (n,n+1,n+2) und daraus halt das Produkt.  Also wie weiß ich nun nach der Umformung ob es ein a gibt ?

Ich blick leider nicht ganz durch.

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" Es geht ja nicht drum das es ein a, a+1 und a+2 gibt sondern der Nenner soll aus drei Zahlen bestehen (n,n+1,n+2) und daraus halt das Produkt."

Ich hab nicht verstanden was du möchtest. Welcher Nenner? Wo siehst du einen Bruch?

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So wie ich das verstanden habe soll [82(a⁸-a⁴)/(n*(n+1)*(n+2))] =z “rauskommen“ wobei n eine zweistellige zahl ist und z und n beide eine natürliche zahl sind.

Wenn ich nun die binomische Formel angewand habe wie sehe ich dann ob es ein a gibt?

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Du brauchst nur eine schlichte Faktorzerlegung machen und keinen Bruch schreiben.

82·(a^8 - a^4) 

= 82·a^4·(a + 1)·(a - 1)·(a^2 + 1)

= 82·(a^2 + 1)·a^3·(a - 1)·(a + 0)·(a + 1)

(a - 1)·(a + 0)·(a + 1) sind dabei drei aufeinanderfolgende Zahlen.

Antwort geweißt. Markieren zum sichtbar machen.

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in der Aufgabe stand doch aber, dass der Term durch drei aufeinanderfolgende mindestens zweistellige natürliche zahlen teilbar sein soll und dies ist mit -1; 0 &1 ja njcht erfüllt

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Wer sagt denn, dass du für a = 0 einsetzen sollst ?