Mehr Spaß mit Logarithmen... :-)

Question

$$\log_{3}\left(\dfrac{\log_{3}\left(3^{3^{3^{3}}}\right)}{\log_{3^{3}}\left(3^{3^{3}}\right)}\right)=?$$

Diese Aufgabe wurde mir heute Nachmittag von meinem Telefon mitgeteilt. Bevor ich später die Quelle nenne, lasse ich sie zunächst mal ein wenig wirken.

Comments

Sieht groß aus, wenn man es aber einfach mal anpackt, kommt man eigentlich schneller zum Ziel als man vielleicht erwartet. Mit 25 würde ich dienen?

Mein Knackpunkt für eine Sekunde war der Nenner: 3^{3^3} = 3^{27} = (3^3)^{9} = 27^9

Danke für die 5 mins Abschalten lassen!

---

Gleich als Antwort!

---

Ok Leute, wie es aussieht, läuft's bei euch mit den Logarithmen. Natürlich habe ich auch mal spaßeshalber meinen Taschenrechner befragt, hier ist die Antwort:

Da ihr das ja locker im Kopf gerechnet habt, stelle ich beruhigt fest:

"Brain hits bern!" :-)

Answer 1

3  ³  =  27       (  1a  )

3 ^ (  3  ^ 3  )  =  3  ^ 27    (  1b  )

Hier passiert ja konstant immer diese Verwirrungstechnik, die ich so anmaule, die Notation der Verknüpfung " a Hoch b "  durch hoch Stellen des  b  .  Man müsste ein  eindeutiges Rechenzeichen einführen; beispielsweise "  a H b  "    für  "  a  Hoch b "    Weil Potenzieren ist  NICHT assoziativ; du kommst in Teufels Küche, wenn du mehrere Klammern ineinander schachtelst.

Eine eindeutige Schreibweise mit Klammern würde nämlich klar stellen, wie die Terme   ineinander geschachtelt sind;  wenn du zehn Hochzahlen die Treppe aufwärts notierst, verwirrt das mehr, als es nutzt.  Gemeint ist offenbar

     3  H  (  3  H  (  3  H  3  )  )  )  =  3  H  (  3  H  27  )      (  1c  )

Der Logaritmus des Zählers ist offenbar  3  ^ 27

Im Nenner schlage ich eine gleichung mit einer Unbekannten vor.

27  ^  x  =  3  ^ 27     (  2a  )

x  log  (  27  )  =  27  log  (  3  )     (  2b  )

3  x  log  (  3  )  =  27  log  (  3  )    ===>  x  =  9       (  2c  )

Halten wir fest:  Der Zähler ist  3  ^  27  , der Nenner  3  ²   Macht   Quotus Quotis - Summa summarum wäre ja paradox -   3  ^ 25   Davon der Logaritmus gibt 25.

Answer 2

mein Ansatz wäre folgender: Erstmal die ganz "normalen" Gesetze

$$ \log_{3}\left(\dfrac{\log_{3}\left(3^{3^{3^{3}}}\right)}{\log_{3^{3}}\left(3^{3^{3}}\right)}\right)=\\\log_{3}\left(\frac{\cancel{\log_{3}}\left(\cancel{3}^{3^{3^{3}}}\right)}{\log_{3^{3}}\left(3^{3^{3}}\right)}\right)=$$

Zum Nenner habe ich folgende Überlegung:

$$\log_{d^e}\left(d^f\right)=\\f\cdot \log_{d^e}\left(d\right)=\\f\cdot \frac{\log_{d}(d)}{\log_{d}(d^e)}=\\f\cdot \frac{1}{e\cdot \log_{d}(d)}=\frac{f}{e}$$

Daraus folgt dann:

$$\log_{3}\left(\frac{3^{3^{3}}}{\frac{3^3}{3}}\right)=\log_{3}\left(\frac{3^{3^{3}}}{3^2}\right)=\\\log_{3}\left(3^{3^{3}}\right)-\log_{3}(3^2)=\\3^3-2=27-2=25$$

Das ist mein Vorschlag, nur mit etwas Kopfrechnen

Gruß

Smitty

Comments

Ich verstehe nicht, warum ich Smittys Antwort nicht direkt kommentieren darf. Seine Durchstreichtechnik im Zähler finde ich einfach geniös; eine Zeichnung sagt bekanntlich mehr als tausend Worte.

Was er aber zum Nenner zu sagen weiß, finde ich verwirrend und abschreckend; ich selbst hätte gar nicht die Ruhe, es durchzuarbeiten. Ich selbst  formulierte meine Gleichung von Vorn herein so, dass sie eine konkrete Frage, eine konkrete Aufgabe beantwortet und nicht ein allgemeines Gesetz.

---

Hallo habakuktibatong,

ich finde es erstmal schön, dass du auf meine Antwort reagierst.

Vielen Dank für dein Kompliment.

Dass es aufwendig sei, eine allgemeine Formel immer aufzustellen, ist richtig.

Aber, da ich dieses "Gesetz" nirgends niedergeschrieben noch hergeleitet gesehen habe, fand ich es besser, es einmal allgemein herzuleiten.

Answer 3

Das könnte auch so funktionieren:$$\log_{3}\left(\dfrac{\log_{3}\left(3^{3^{3^{3}}}\right)}{\log_{3^{3}}\left(3^{3^{3}}\right)}\right)=?$$ Es ähnlet Smittys Rechnung. Vorab es gilt \(\log_{a}{a^x}=x\) und wie von Smitty schon gezeigt \(\log_{a^y}{a^x}=\frac{x}{y}\).$$\log_{3}\left(\dfrac{3^{27}}{9}\right)=\log_{3}\left(\dfrac{3^{27}}{3^2}\right)$$$$\log_{3}\left(3^{25}\right)=25$$