du kannst das ganze auch wiederum etwas umschreiben.
Mir selbst war die Wurzelform etwas lästig und habe deswegen versucht den inneren Ausdruck zu umschreiben. Zunächst habe ich mit dem Additionstheorem des Kosinus gearbeitet und es hat sich kollussal vereinfacht.
$$ \cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)=\cos\Big(\frac{\pi}{x}+\frac{\pi}{x} \Big) =\cos\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\cdot\cos\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\cdot\sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\\=\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big) \quad (1)$$Ferner gilt auch:
$$ 1=\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)+\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\quad (2) $$
Dann erhält man nun:
$$ \cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)=\cos^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)-\sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\stackrel{(2)}{=}\underline{1-2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)}\quad (*) $$
Nun betrachten wir damit den Limes :
$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{1-\cos\Big(\frac{2\pi}{x} \Big)}\stackrel{(*)}{=}\lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{1-\Big(1-2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\Big) \Big)}\\=\lim_{x \to \infty} \sqrt{2}\cdot x\cdot \sqrt{2\cdot \sin^2\Big(\frac{\pi}{x} \Big) \Big)}=\lim_{x \to \infty} 2\cdot x\cdot \sin\Big(\frac{\pi}{x} \Big)\\ \stackrel{(**)}{=}\lim_{y \to 0}2\cdot \frac{1}{y}\cdot \sin(\pi\cdot y)=\lim_{y \to 0}\frac{2 \cdot \sin(\pi\cdot y)}{y}\\ \stackrel{L'H}{=}\lim_{y \to 0}2\cdot\pi\cdot \cos(\pi\cdot y)=\underline{\underline{2\cdot \pi }}$$
(**) Ein einfacher Trick, um dennoch einen Ausdruck zu schaffen, der gegen ,,∞'' geht.
