Erwartungswert E[(T-p)^2] , wobei T = 2/n * (summe X_i) berechnen

Question

ggb. X_1 ... X_2 unabhängig sind

Wie berechnet man den Folgenden  E[(T-p)^2] , wobei T = 2/n * (summe X_i) ?

was ich soweit gemacht habe ist :

E[(T-p)^2] = E[T^2 - 2pT + p^2] = E[T^2] - 2pE[T] + E[p^2] 

was soll ich weitermachen ? wie berechnet man E[T^2] ?

Danke in Voraus!!

Answer 1

Ich denke Du beziehst dich auf folgende Aufgabe

https://www.mathelounge.de/557664/wie-zeigt-man-dass-ein-schatzer-fur-p-unverzerrt-ist

Dann gilt wegen der unabhängigkeit der Zufalsgrößen \( X_i \)

$$ E(T-p)^2 = \text{Var}(T) = \text{Var} \left( \frac{2}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) = \\ \frac{4}{n^2} \sum_{i=1}^n \frac{p^2}{12} = \frac{p^2}{3n}  $$

Comments

ich hatte auch bis die letzte Gleichung aber konnte

nicht weiter  Var(X_i) berechnen..

wie bist du drauf gekommen , insbesondere wo kommt die 12 her ?

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$$ \text{Var}(X_i) = E\left[ (X_i - E(X_i))^2 \right] = E(X_i^2)-E(X_i)^2 = \\ \int_0^p x^2 \frac{1}{p} dx - \left(  \frac{p}{2} \right)^2 = \frac{p^2}{3} - \frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{12} $$

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Danke sehr ! vor ein Paar Minuten ist mir eingefallen das man das mit der Def. berechnen kann .. Super ! Danke nochmal!