Polynomfunktion kleinsten Grades mit vier gegebenen Nullstellen durch den Punkt (1|8)

Question

gesucht ist eine polynomfunktion von möglichst kleinem grad mit nullstellen

x1=-1

x2=0

x3=2

x4=3

und der graph geht ausserdem durch den punkt (1/8)

gerne mit lösungsweg

Answer 1

Wenn du die Nullstellen kennst, kannst du die faktorisierte Form aufstellen

f(x) = a·x·(x + 1)·(x - 2)·(x - 3)

Nun kann man das a noch ausrechnen, sodass die Funktion durch den Punkt (1 | 8) geht.

f(1) = a·1·(1 + 1)·(1 - 2)·(1 - 3) = 8 --> a = 2

Also lautet die Funktion

f(x) = 2·x·(x + 1)·(x - 2)·(x - 3)

Ausmultiplizieren ergäbe

f(x) = 2·x^4 - 8·x^3 + 2·x^2 + 12·x

Das muss man aber nicht machen.

Answer 2

eine andere Möglichkeit ist es, ein LGS aufzustellen, die von Mathecoach geht natürlich schneller.

Da es 4 Nullstellen gibt, ist der niedrigste Grad der 4.

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Bedingungen:

f(-1) = 0

f(0) = 0  => e = 0

f(2) = 0

f(3) = 0

f(1) = 8

=>

 (1)   a - b + c - d = 0

 (2)  16a + 8b + 4c + 2d = 0

 (3)  81a + 27b +9c +3d = 0

 (4) a + b + c + d = 8

Wenn man das löst erhält man:

a = 2

b = -8

c = 2

d = 12

Gruß

Smitty