Termdarstellung einer Polynomfunktion f vom Grad 3 durch Punkte herausfinden

Question

Aufgabe:

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 nimmt ein lokales Extremum im Punkt E=(1|-2) an, schneidet die 1.Achse im Punkt (2|0) und die 2. Achse im Punkt (0|-2). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das machen soll. In der Schule haben wir ähnliche Aufgaben berechnet aber nicht so eine.

Answer 1

Polynomfunktion f vom Grad 3 sieht allgemein so aus:

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$

lokales Extremum im Punkt E=(1|-2)

Hier sind zwei Informationen:

$$ f(1)=-2 \text{  und  } f'(1)=0 $$

1.Achse im Punkt (2|0)

Eine Information:

$$ f(2)=0 $$

2. Achse im Punkt (0|-2)

Eine Information:
$$ f(0)=-2  $$

Daraus kriegst du 4 Gleichungen mit vier Unbekannten.

Comments

Danke

Mit deinen Tipps schaffe ich es

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Bitteschön. Und so verfährt man bei solchen Aufgaben immer.

Answer 2

Du kannst auf http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm auch ein Kontrollergebnis berechnen lassen

f(1)=-2
f'(1)=0
f(2)=0
f(0)=-2

a + b + c + d = -2
3a + 2b + c = 0
8a + 4b + 2c + d = 0
d = -2

f(x) = x^3 - 2·x^2 + x - 2

Comments

und wie bekomme ich dann a b und c ?

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Du hast doch jetzt ein lineares Gleichungssystem, was du jetzt nur noch lösen musst: Gauß-Algorithmus oder Einsetzungsverfahren,...

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Du löst das lineare Gleichungssystem

a + b + c + d = -2
3a + 2b + c = 0
8a + 4b + 2c + d = 0
d = -2

Also d einsetzen und vereinfachen

a + b + c = 2
3a + 2b + c = 0
8a + 4b + 2c = 2

II - I ; III - 2*I

2·a + b = -2
6·a + 2·b = -2

II - 2*I

2·a = 2 → a = 1

Dann rückwärts einsetzen. Bekommst du das selber hin?

Du kannst dir das Gleichungssystem auch mit der App Photomath vorrechnen lassen.

Answer 3

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 nimmt ein lokales Extremum im Punkt E\((1|-2)\)an, schneidet die 1.Achse im Punkt N\((2|0)\) und die 2. Achse im Punkt Y \((0|-2)\). Ermittle eine Termdarstellung der Funktion f!

E\((1|-2)\) ↑ E'\((1|0)\) doppelte Nullstelle

\(f(x)=a(x-1)^2(x-N)\)

N\((2|0)\)  ↑  N´\((2|2)\)

\(f(2)=a(2-1)^2(2-N)=a(2-N)=2\)

\(a=\frac{2}{2-N}\)

\(f(x)=\frac{2}{2-N}(x-1)^2(x-N)\)

Y \((0|-2)\) ↑ Y´ \((0|0)\)

\(f(0)=\frac{2}{2-N}(0-1)^2(0-N)=0\)

\(N=0\)     \(a=\frac{2}{2-0}=1\)

\(f(x)=(x-1)^2 x\)

↓ \(p(x)=2(x-1)^2 x-2\)