Bestimmen Sie eine Polynomfunktion vom Grad 3, deren Graph durch A(2/2) und B(3/9) geht und deren TP T(1/1) hat.

Question

Ich habe keinen Plan wie diese Aufgabe gehen soll -.-

Answer 1

f(x) = ax³+bx²+cx+d

f'(x) = 3ax²+2bx+c

P(2/2)    2=8a+4b+2c+d

Q(3/9)   9=27a+9b+3c+d

R(1/1)   1=a+b+c+d

Tiefpunkt (1/1) 0=3a+2b+c

Dieses System aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten a, b, c, d hat die Lösungen a=1; b= - 3; c = 3 und d=0.

Die Funktionsgleichung ist dann f(x) = x³ - 3x² + 3x

Der zugehörige Graph hat aber bei (1/1) einen Sattelpunkt und keinen Tiefpunkt! Da stimmt etwas mit der Aufgabenstellung nicht.

Answer 2

"Bestimmen Sie eine Polynomfunktion vom Grad 3, deren Graph durch \(A(2|2)\) und \(B(3|9)\) geht und deren Sattelpunkt S(1|1) ist."

Ich verschiebe um 1 Einheit nach unten:

\(S(1|1)\)  → \(S(1|0)\)  ist eine dreifache Nullstelle:

\(f(x)=a*(x-1)^3\)

\(A(2|2)→A´(2|1)\)

\(f(2)=a*(2-1)^3=1\)      →\(a=1\)

\(f(x)=(x-1)^3\)

Nun eine Einheit nach oben:

\(p(x)=(x-1)^3+1\)

Kontrolle: \(B(3|9)\)

\(p(3)=(3-1)^3+1=9\)  ✓