Lineare Abbildung R^4 -> R^3

Question

ich habe 4 Vektoren für die ich zeigen soll, dass sie die Basis von R^4 bilden.

Also setze ich sie in ein LGS gleich 0 und erhalte für alle = 0, womit sie linear unabhängig sind und besagte Basis bilden (korrekt?).

Anschließend soll ich eine lineare Abbildung von R^4 nach R^3 erstellen, für die folgendes gilt:

v1 = (2/1/3), v2 = (-4/1/-5), v3 (0/2/-1) und bei v4 sollen alle Komponenten verschieden sein.

Dann soll v1 - 2v2 - v3 + 2v4 berechnet werden.  

(Fett = Problem)

Kann ich bei v4 bswp. einfach (0/1/2) einsetzen und dann die Berechnung machen, oder wie muss ich hier vorgehen?

Gruß

Kopie aus Kommentar: Zusatzinformationen:

"Zeigen Sie, dass die Vektoren

v1 = (2/4/0/-4), v2 = (2/3/1/0), v3 = (0/-1/1/-3) und v4 = (1/0/0/0) eine Basis von R4 bilden.

Erstellen Sie anschließend eine lineare Abbildung F: R^{4} -> R^{3}, für die F(v1) = (2/1/3), F(v2) = (-4/1/-5) und F(v3) = (0/2/-1) gilt und bei der alle Komponenten von F(v4) verschieden sind.

Berechnen Sie schließlich F(v1 - 2v2 - v3 + 2v4)."

Comments

Also setze ich sie in ein LGS gleich 0 und erhalte für alle = 0, womit sie linear unabhängig sind und besagte Basis bilden (korrekt?). JA

Welche 4 Vektoren hattest du denn ?

Das hängt doch bestimmt irgendwie mit Teil b) zusammen.

Welche Eigenschaft soll denn die lin. Abb. haben ?

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Die 4 Vektoren, die eine Basis von R^4 bilden sollen waren:

v1 = (2/4/0/-4), v2 = (2/3/1/0), v3 = (0/-1/1/-3) und v4 = (1/0/0/0). Diese sind lin. unabhängig (schon gegprüft).

Zu einer Eigenschaft steht nichts in der Aufgabenstellung. Lediglich das, was oben fett geschrieben steht.

Gruß

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Hallo

es fehlen wesentliche Informationen. Welche Vektoren sollen denn auf die v1,... abgebildet werden?

Gruß lul

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"Zeigen Sie, dass die Vektoren

v1 = (2/4/0/-4), v2 = (2/3/1/0), v3 = (0/-1/1/-3) und v4 = (1/0/0/0) eine Basis von R^4 bilden.

Erstellen Sie anschließend eine lineare Abbildung F: R^4 -> R^3, für die F(v1) = (2/1/3), F(v2) = (-4/1/-5) und F(v3) = (0/2/-1) gilt und bei der alle Komponenten von F(v4) verschieden sind.

Berechnen Sie schließlich F(v1 - 2v2 - v3 + 2v4)."

Das ist die Aufgabe.

Meine Frage war ja nun - da die Vektoren alle linear unabhängig sind und somit die Basis bilden - wie ich weiter vorgehen muss. Kann ich jetzt einfach F(v4) so wählen: (0/1/2) und dann in die Berechnung einsetzen und ich bin fertig, oder was ist zu tun?

Gruß

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"Zeigen Sie, dass die Vektoren

v1 = (2/4/0/-4), v2 = (2/3/1/0), v3 = (0/-1/1/-3) und v4 = (1/0/0/0) eine Basis von R4 bilden.

Erstellen Sie anschließend eine lineare Abbildung F: R^{4} -> R^{3}, für die F(v1) = (2/1/3), F(v2) = (-4/1/-5) und F(v3) = (0/2/-1) gilt und bei der alle Komponenten von F(v4) verschieden sind.

Berechnen Sie schließlich F(v1 - 2v2 - v3 + 2v4)."

Das ist schon erheblich mehr, als was du oben angegeben hattest.

Ausserdem hattest du in deiner Frage F(...) unterschlagen. Verstehst du nun, dass hier mehr Information enthalten ist als oben?

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In meinem ersten Kommentar stand der Rest aber bis auf das mit F - da hast du Recht.

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Meine Frage war ja nun - da die Vektoren alle linear unabhängig sind und somit die Basis bilden - wie ich weiter vorgehen muss. Kann ich jetzt einfach F(v4) so wählen: (0/1/2) und dann in die Berechnung einsetzen und ich bin fertig, oder was ist zu tun?

Das müsste eigentlich der verlangte Rechenweg sein.

Erstellen Sie anschließend eine lineare Abbildung F: R^{4} -> R^{3}, für die F(v1) = (2/1/3), F(v2) = (-4/1/-5) und F(v3) = (0/2/-1) gilt und bei der alle Komponenten von F(v4) verschieden sind.

Möglicherweise solltest du hier noch eine Abbildungsmatrix angeben(?). Mit den vier definierten Resultaten hast du aber bereits eine solche Abbildung erstellt.

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Danke dir!

(irgendwas, damit das Kommentar lang genug ist)