Aufgabenstellung:
Zeigen Sie, dass folgendes gilt:$$f(n,n) = \sum_{i=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n+i-1 \\ i \end{pmatrix} \quad \forall \, n \ge 1$$ Bis jetzt hab ich raus:
1.Delannoy Numbers(Central Delannoy numbers)
2. \(f(n,n) = f(n-1,n)+f(n,n-1)+f(n-1,n-1) \) -> Rekursionsgleichung
3. \(\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n+i \\ i \end{pmatrix}= f(n,n+1) + f(n+1,n) + f(n,n)\)
4. \(\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n+i \\ i \end{pmatrix}= f(n,n+1) + f(n+1,n) + \sum_{i=0}^{n-1} \begin{pmatrix} n-1 \\ i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} n+i-1 \\ i \end{pmatrix}\)
Mehr hab ich leider nicht, ich weiß nur, dass es iwas mit dem Pascalschen Dreieck und den Delannoy numbers ist.
Würde mich für jede Antwort freuen, bin echt verzweifelt.