auf Stetigkeit überprüfen fk (x, y) := x^{k}*y^{2}/x^{2}+y^{4}, (x,y) ≠(0, 0); 0, (x,y) = (0,0)

Question

Die folgende Funktion f soll in Abhängigkeit von k ∈ N auf Stetigkeit untersucht werden:

fk (x, y) :=  x^k*y^2/x^2+y^4, (x,y) ≠(0, 0)

                                         0, (x,y) = (0,0)

a) Untersuchen Sie die Funktion für k = 1, 2, 3, 4 auf Stetigkeit.
b) Stellen Sie eine Hypothese für k ≥ 5 auf und beweisen Sie diese.

Comments

Wenn du solche Fragen beantworten musst, kennst du die Regel: Punkt vor Strichrechnung bereits. Welche Klammern hast du unterschlagen? Keine?

Answer 1

    Versuchen wir ' smal mit Polarkoordinaten ; k = 1

                                     r  ³  cos ( ß ) sin ² ( ß )

       lim                    ------------------------------------------------     =   ( 1a )

  r ===> 0                   r ² cos ² ( ß ) + r ^ 4 sin ^ 4 ( ß )

                                  r    cos ( ß ) sin ² ( ß )

      lim                    ------------------------------------------------           (  1b  )

                                    cos ² ( ß ) + r ²  sin ^ 4 ( ß )

   An sich geht das gegen Null für r ===>  0 .   Ja mehr noch; sie verschwindet auf der gesamten y-Achse  ;  kürzen wir ( 1b ) durch Kosinus.

                                           r    sin ² ( ß )

       f ( r ; ß ) =          ------------------------------------------------           (  1c  )

                                      cos ( ß ) + r ²  sin ³ ( ß ) tg ( ß )

     Jetzt  k  =  2

                                  r  ^ 4   cos ² ( ß ) sin ² ( ß )

      f_2 ( r ; ß ) =    ------------------------------------------------    =       ( 2a )

                                     r ² cos ² ( ß ) + r ^ 4 sin ^ 4 ( ß )

                                  r   ²  cos ² ( ß ) sin ² ( ß )

               =           ------------------------------------------------          ( 2b )

                                      cos ² ( ß ) + r   ²  sin ^ 4 ( ß )

    Auch das geht wieder gegen Null; auch auf der y_Achse .

                                     r  ²  sin ² ( ß )

              =          ------------------------------------------------          ( 2c )
 f_2 ( r ; ß )
                                1 + r  ²  sin ²  ( ß )  tg ² ( ß )

     Ich schick erst mal ab .