Folge eine Cauchy-Folge? √(1+n^{-1})nεN C R eine Cauchy Folge?

Question

 

Aufgabe: √(1+n^-1)_nεN C R eine Cauchy Folge?

Ich darf dabei das Kriterium (Folge Kovergent -> Cauchy-Folge) nicht gebrauchen, da wir den limes für die Wurzeln noch nicht bewiesen haben.

Meine Überlegungen:

x_{n :=}  √(1+n^-1)

1. Aus Bedingung:

I x_n - x_m I = I √(1+n^-1)- √(1+m^-1) I = I  √(1+n^-1)- √(1+m^-1) *  (√(1+n^-1) + √(1+m^-1) / √(1+n^-1) + √(1+m^-1)) I

= I ( 1+ n^-1 - 1 + m^-1) /  √(1+n^-1) + √(1+m^-1) I = I (1/n - 1/m) /  √(1+n^-1)- √(1+m^-1) I ≤ ε

2. Ich weiss nun auch, dass

I (1/n - 1/m) / √(1+n^-1)- √(1+m^-1) I ≤  (1/n - 1/m)

3. Aber weiss ich auch, dass

(1/n - 1/m) ≤ ε ?

Falls Ja, was mache ich nun mit diesem "m", ich kann ja das Schlussendlich nicht in meiner Bedingung miteinehmen.

Falls Nein, wie gehe ich von Schritt 2. weiter?

 

Danke für eure Hilfe,

Tulbih

Answer 1

Hallo Tulbih,

schaut gut aus. \( \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| < \epsilon \) weißt du, denn es gibt natürlich einen Index \( N \), sodass \( \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| < \epsilon \) für alle \( n, m \geq N \).

Das kannst du gerne auch formal noch weiter ausgeführt begründen. Oder ich sage besser: Solltest du sogar.

MfG

Mister

Comments

Hallo Mister

Danke erstmals für deine Antwort!

Warum ist es nicht möglich, dass  1 n −1 m ∣ ∣ <ϵ  \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| > \epsilon ?

Wie könnte ich das formal noch begründen?

nochmal die Bedingungen "alle ε>0 es existiert ein NεN mit n,m E N" ?

Lg Tulbih

Sorry, die Zeichen an meinem Computer spinnen gerade ein bisschen.

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Wenn du Latex-Quelltext benutzen willst musst, du diesen in bestimmte Zeichenfolgen einbetten: https://www.matheretter.de/rechner/latex .

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Warum ist es nicht möglich, dass  $$ \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| > \epsilon $$ ?

So sollte es richtig sein, danke für den Tipp...

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Es ist ja möglich, dass \( \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| > \epsilon \).

Die Frage sollte heißen: Warum existiert ein \( N \in \mathbb{N} \), sodass \( \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| < \epsilon \) für alle \( m, n \geq N \)?

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Hallo Mister

Habe eine Weile gebraucht um den Unterschied zu begreiffen.

Die Antwort von deiner korrekt formulierten Frage ist mir aber immernoch nicht klar...

Liebe Grüsse

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naja die Aussage gilt fǘr \( \frac{1}{n} \) und \( \frac{1}{m} \) getrennt, da es die gleiche Folge ist. Somit finden für die erste ein \( N_1 \) und für die zweite ein \( N_2 \), sodass zu gegebenen \( \epsilon_1 \) und \( \epsilon_2 \) gilt

\( \frac{1}{n} < \epsilon_1 \) für alle \( n \geq N_1 \)

und

\( \frac{1}{m} < \epsilon_2 \) für alle \( m \geq N_2 \).

Nun gilt

\( \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \leq \left| \frac{1}{n} \right| + \left| \frac{1}{m} \right| < \epsilon_1 + \epsilon_2 \).

Sind die gegebenen  \( \epsilon_1 \) und \( \epsilon_2 \) derart gewählt, dass \( \epsilon_1 + \epsilon_2 < \epsilon \) gilt, so folgt schließlich die Aussage vermittels des durch \( N \equiv \max(N_1, N_2) \) gewählten \( N \)'s:

\( \left| \frac{2}{N} \right| < \epsilon \).

MfG

Mister

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Hallo Mister

Danke dir für die ausführliche Antwort.

Könnte es auch ε₁ + ε₂ ≤ ε sein?

Und wie kommst du auf  I2/NI < ε?

Logisch erscheint mir eher IN/2I < ε, da man ja zwei Teile zusammenfasst.

Lg Tulbih

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Es könnte auch \( \epsilon_1 + \epsilon_2 \leq \epsilon \) sein. Die Folgerung bliebe die gleiche. Es muss jedoch wenigstens ein echtes \( \leq \) in der Ungleichungskette vorkommen.

\( \left| \frac{1}{N} \right| + \left| \frac{1}{N} \right| = 2 \left| \frac{1}{N} \right| = \left| \frac{2}{N} \right| \), da \( N \geq 0 \).

MfG

Mister