Ein Dreieck mit AB=5 AC=4 , BC=sqrt(61)

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe

Ein Dreieck mit  AB=5   AC=4  ,  BC=sqrt(61)

Zerlegen Sie BC durch AB und AC

Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarquadrates BC^2

AB*AC=()

und

 ∠A= ()°

Mein größter Hindernis ist, dass ich die Vektoren nicht zerlegen kann. Könnte mir jemand erklären wie das funktioniert anhand dieser Aufgabe?

Answer 1

Hallo Marco,

Zerlegen heißt hier wahrscheinlich, dass Du \(\vec{BC}\) in \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) ausdrücken sollst, was trivial ist: $$\vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{AC}$$ Quadriere das ganze und Du bekommst: $$\vec{BC}^2 = \vec{AB}^2  -2 \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC}^2$$ Auflösen nach \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\): $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac12( \vec{AB}^2 + \vec{AC}^2 - \vec{BC}^2) = \frac12 (5^2 + 4^2 - 61) = -10 $$ und der Winkel \(\alpha\) folgt aus dem Skalarprodukt $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos \alpha$$ $$\cos \alpha = \frac{-10}{5 \cdot 4} = -\frac12 \quad \Rightarrow \alpha = 120°$$ Gruß Werner

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort. Ich hab eine Frage bei deiner Rechnung.

Gilt für BC nicht BC= AB-AC?

Und was für ein Wert r gilt für BC= r*AB + r*AC, weil so wird es in der Aufgabe die Zerlegung erfordert. Sry das ich mit dem BC= ?*AB+?AC* nicht dazu geschrieben habe.

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Hallo Marco,

ganz ganz wichtig: mache Dir eine (möglichst saubere) Zeichnung

Und zeichne die Pfeile so ein, wie sie in der Aufgabe gegeben sind. \(\vec{BC}\) (blau) ist der Pfeil von \(B\) nach \(C\). Wenn Du nun \(\vec{BC}\) in \(\vec{AB}\) (rot) und \(\vec{AC}\) (grün) ausdrücken willst, so schaue in die Zeichnung, starte von \(B\), rückwärts(!) über \(\vec{AB}\) (also minus \(\vec{AB}\)) und vorwärts (also plus) über \(\vec{AC}\) nach \(C\). D.h.: $$\vec{BC}= -\vec{AB} + \vec{AC}$$ oder wenn Du das als $$\vec{BC}= r \cdot \vec{AB} + s \cdot \vec{AC}$$ ausdrücken willst, dann ist \(r=-1\) und \(s=+1\).

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Wow vielen vielen Dank für deine Erklärung ! Dafür kriegst du 2 mal "beste Antwort".