punkt auf dianonale (rechteck), lot von punkten, beweis dass die flächen der zwei rechtecke gleich sind?

Question

Halloo. Also irgendwie find ich hierfür keine richtige lösung. Gegeben sei ein Rechteck ABCD. Der Punkt P liegt beliebig auf der Diagonalen AC. Nun werden jeweils die Lote von P auf jede der Rechtecksseiten gefällt. Die Lotfußpunkte seien K auf AB, L auf Seite BC, M auf Seite CD und N auf Seite DA.Beweisen Sie, dass die Flächen der Rechtecke NPMC und KBLP gleich sind. Die Grafik unten ist doch richtig so oder?Soll ich des über die beiden Flächeninhalte des Dreiecks beweisen? Also Flächeninhalt beider Dreiecke die durch AC entstehen und dann davon die anderen Dreiecke abziehen, sodass dann die beiden Rechtecke übrig bleiben? Wenn ja wie? oder Gibt's noch was einfacheres?

Answer 1

Hallo Kati,

Du meinst die Rechtecke \(NPM\colorbox{#ffff88}{D}\) und \(KBLP\) - oder?

Die Dreiecke \(\triangle ABC\) und \(\triangle ACD\) sind gleich. Ebenso ist das \(\triangle AKP\) gleich dem \(\triangle APN\) sowie \(\triangle AKP\) und \(\triangle PCM\). Demnach ist $$F(KBLP) = F(\triangle ABC) - (F(\triangle AKP) +F(\triangle AKP))$$ $$F(NPMD) = F(\triangle ACD) - (F(\triangle APN) +F(\triangle PCM))$$ ... und dies ist doch offensichtlich das gleiche.

Comments

danke dir. ja eigentlich schon. die frage is, ob sowas als beweis an der uni ausreicht? schon oder?

---

Im Rahmen der Mathematikausbildung von zukünftigen Grundschullehrern reicht das aus. Die Winkelfrage gestern hatte ich ja ähnlich bewiesen.

---

Du kannst noch einflechten, warum die jeweiligen Dreiecke gleich sind. Da gibt es den Kongruenzsatz - in diesem Fall ist es der Fall SSS. Wenn es ganz pingelig sein soll, kannst Du noch zeigen, warum z.B. \(|KP|=|AN|\) ist, usw.

Ansonsten sollte das IMHO auch für die Uni Beweis genug sein. Du machst doch wahrscheinlich Lehramt; da kommt es wohl eher auf die richtige Formulierung an - oder? Noch'n Link.

---

ja genau :-) lehrsamt Sekundarschule ;-) ich danke dir von herzen :-)

---

es freut mich, dass ich Dir helfen konnte :-)