4*3^{x+2} = 2*5^x berechnen

Question

Aufgabe oben

Danke für die Lösungen

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Ich meine natürlich: 4 × 3 hoch x+2 = 2 × 5 hoch x

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Pass mal auf, welche Tags du nimmst. Das ist eher eine "gleichung", "exponential-gleichung", "logarithmus". Als "Wahrscheinlichkeit"

Answer 1

Du meinst \(4\cdot 3^{x+2}=2\cdot 5^x\). Du kennst doch bestimmt das erste Potenzgesetz, welches \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\) besagt. Das kannst du hier auch anwenden. Dann wird \( 3^{x+2}\) zu \(3^x\cdot 3^2\).$$4\cdot 3^x\cdot 3^2=2\cdot 5^x$$ Dann rechnen wir \(4\cdot 3^2\) aus:$$36\cdot 3^x=2\cdot 5^x$$ Nun teilen wir beide Seiten durch \(2\):$$18\cdot 3^x= 5^x$$$$18\cdot 3^x= 5^x  \quad |:5^x$$$$18\cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x= 1  \quad |:18$$$$\left(\frac{3}{5}\right)^x= \frac{1}{18} $$$$x= \log_{\frac{3}{5}}{}\left(\frac{1}{18}\right)$$$$x≈ 5.65824$$

Comments

Den log_(3/5) zu nehmen ist zwar richtig, ich empfehle aber ln oder lg. Die hat man meist direkt auf dem Taschenrechner ;).

Answer 2

Hi,

4*3^{x+2} = 2*5^x

4*9*3^x = 2*5^x   |:3^x :2

36/2 = 5^x/3^x

18 = (5/3)^x        |ln

ln(18) = x*ln(5/3)

x = ln(18)/ln(5/3) ≈ 5,66

Grüße

Answer 3

  Ich habe es eigentlich satt, ständig die Aufgabe raten zu müssen .  In der 10d hatte ich übrigens mal  einen Klassenkameraden; " Sigi "  Der weigerte sich auch einzusehen, was ihm Frau Gumboldt vorhielt: Der Aufgabentext sei " verdruckt "

     Sie weigerte sich standhaft, die Aufgabe in der ( angeblich ) verdruckten Form zu lösen und schickte Sigi statt dessen zum Direx. Dieser ordnete dann an, Klassenlehrer  "  Stass " habe Sigi einzutragen

    " Siegfried P. ist geistesgestört. "

       Rüpel mit 20 und mehr Einträgen - das waren Helden; ritterkreuzträger. Der Ruhm der 10d; allein die schiere Masse dieser Einträge veranlasste das Kollegium, der ganzen Klasse ausnahmslos die 3 in Betragen reinzuwürgen.

   Nicht so bei Sigi. Wer von euch weiß, was ===> Dialektik der Aufklärung bedeutet? Z.B. dies hier.

    Natürlich waren alle 36 Mann neugierig, wie der Eintrag nun lautet. Als sie davon Kenntnis genommen hatten, urteilten sie

   " Sigi du hast fürderhin in dieser Klasse kein Rederecht mehr. Denn du gehörst nicht in eine deutsche Gymnasialklasse, sondern in ein deutsches Irrenhaus ... "

   Hat Sigi nun einen Vogel oder nicht? Ein Internetkommentar kl#rte mich auf, er "  halte ein Patent zum Versilbern von Schmuckvögeln " ...

   Aber mal angenommen, die Aufgabe heißt, wie meine Vorredner behaupten . Regel 1 : Im Exponenten darf nur x stehen und nicht etwa 4 711 x + 12.34  . Wenn wir das beachten, lautet die Ausgangsform deiner Gleichung

     4  *  9  *  3  ^ x  =  2  *  5  ^  x   |  :  2       (  1  )

     Auch Gleichungen sind zu Kürzen; bei mir würd's ja Strafpunkte hageln ohne Ende .

     18  *  3  ^  x  =  5  ^  x     (  2  )

     Diese Regel mit dem x hat nämlich den einen guten Zweck:  Unter der gemeinsamen Hochzahl x lassen sich jetzt beliebige Basen Problem los zusammen fassen.

     ( 5/3 )  ^  x  =  18    |     log       (  3a  )

                                   log ( 18 )

        x    =       ---------------------------        (  3b  )

                            log ( 5/3 )

     Und noc h eins:  Nie unmotiviert drauf los logaritmieren. Sondern nur dann, wenn es unbedingt sein  muss bzw. unumgänglich ist .

   Da hier ja eine absolute Geilheit auf Nummerik zu bestehen scheint .  Ihr habt ja den TR; ich mach das grad mal schnell mit Muttis Logaritmentafel

     lg  (  18  )  =  1.2553         (  4a  )

     lg  (  5  )  =  .6990        (  4b  )

     lg  (  3  )  =  .4771      (  4c  )    ( weiß man auswändig )

     lg  ( 5/3 )  =  ( 4b ) - ( 4c )  =  .2219     (  4d  )

   x  =  12 553  :  2 219  =  5.6571