Exponentialgleichung: 3*5^(x-8) -5^(x-7) = 5* 2^(x-8) -2^ (x-4) -3*2^(x-9)

Question

Aufgabe:

Mit wurde gegeben:

3*5^(x-8) -5^(x-7) =

5* 2^(x-8) -2^ (x-4) -3*2^(x-9)

Problem/Ansatz:

Ich habe probiert so berechnen:

5^x(3*5^(-8) -5^(-7)) =

= 2^x(5*2^(-8) -2^(-4) -3*2^(-9))

Aber meine Antwort leider stimmt nicht

Die Lösung ist: 10

Für die Ausführliche Antwort wäre ich sehr dankbar

Answer 1

Aloha :)

$$3\cdot5^{x-8}-5^{x-7}=5\cdot2^{x-8}-2^{x-4}-3\cdot2^{x-9}$$$$3\cdot5^1\cdot5^{x-9}-5^2\cdot5^{x-9}=5\cdot2^1\cdot2^{x-9}-2^5\cdot2^{x-9}-3\cdot2^{x-9}$$$$(15-25)\cdot5^{x-9}=(10-32-3)\cdot2^{x-9}$$$$\left.-10\cdot5^{x-9}=-25\cdot2^{x-9}\quad\right|\;:(-10)$$$$\left.5^{x-9}=\frac{5}{2}\cdot2^{x-9}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\ln\left(5^{x-9}\right)=\ln\left(\frac{5}{2}\right)+\ln\left(2^{x-9}\right)$$$$\left.(x-9)\ln(5)=\ln\left(\frac{5}{2}\right)+(x-9)\ln(2)\quad\right|\;-(x-9)\ln(2)$$$$(x-9)\ln(5)-(x-9)\ln(2)=\ln\left(\frac{5}{2}\right)$$$$(x-9)(\ln(5)-\ln(2))=\ln\left(\frac{5}{2}\right)$$$$\left.(x-9)\ln\left(\frac{5}{2}\right)=\ln\left(\frac{5}{2}\right)\quad\right|\;:\ln\left(\frac{5}{2}\right)$$$$\left.x-9=1\quad\right|\;:+9$$$$x=10$$

Comments

Schöne Antwort, da nicht mal der Logarithmus berechnet werden muss. Man kann ihn auch ganz umgehen:

Ich teile die Zeile, die durch -10 geteilt wird durch -50.

1/5 * 5^(x-9) = 1/2 * 2^(x-9)

5^(-1) * 5^(x-9) = 2^(-1) * 2^(x-9)

5^(x-10) = 2^(x-10)

Potenzen mit gleichen Exponenten und verschiedenen Basen sind gleich, wenn der Exponent 0 ist. (Betrachte die Graphen von Exponentialfunktionen, die haben keine weiteren Schnittpunkte).

Somit x -10 = 0.

Also x = 10. 

Answer 2

3*5^(x-8) -5^(x-7) =5* 2^(x-8) -2^ (x-4) -3*2^(x-9)

Teile beide Seiten durch 2^(x-4)

(3*5^(x-8) -5^(x-7))/(2^(x-4))= 5 *2^(-4) -1 -3 *2^(-5)

(3*5^(x-8) -5^(x-7))/(2^(x-4))= 5/16 -1 -3/32

(3*5^(x-8) -5^(x-7))/(2^(x-4))= (-25)/32

5^(x) *5^(-7) (3/5 -1) *32      = (-25) *2^(x) *2^(-4)

(5/2)^x *5^(-7)   *((-64)/5)    = (-25)/16

(5/2)^x  = (5/2)^10

x=10

Answer 3

Dein Ansatz ist soweit richtig und führt auch zum Ergebnis:$$5^x\cdot \left(3\cdot 5^{-8}-5^{-7}\right) = 2^x \cdot \left(5 \cdot 2^{-8}-2^{-4}-3 \cdot 2^{-9}\right) \\ 5^x\cdot \left(15 \cdot 5^{-9}-25 \cdot 5^{-9}\right) = 2^x \cdot \left(10 \cdot 2^{-9}-32 \cdot 2^{-9}-3 \cdot 2^{-9}\right) \\ 5^x\cdot \left(-10 \cdot 5^{-9}\right) = 2^x \cdot \left(-25 \cdot 2^{-9}\right) \\ \dfrac{5^x}{2^x} = \dfrac{\left(-25 \cdot 2^{-9}\right)}{\left(-10 \cdot 5^{-9}\right)} \\ \dfrac{5^x}{2^x} = \dfrac{5 \cdot 5^9}{2 \cdot 2^9} \\ \left(\dfrac{5}{2}\right)^x = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{10} \\ x=10. $$

Comments

Vielen Dank für die Antwort

,ich habe eine kleine Frage,wenn es möglich ist:

5^x/2^x =(-25*2^(-9))/ (-10*5^(-9))

haben Sie hier bei -5 gekürzt oder etwas anderes ?

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An dieser Stelle habe ich tatsächlich mit \(-5\) gekürzt und außerdem die Potenzen mit negativen Hochzahlen in solche mit positiven Hochzahlen umgewandelt.

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Vielen Dank !