exponentialgleichung ohne substitution lösen: c) 2^2x - 3*2^{x+1} = -8, d) 3*9^{-x} + 9^x = 4

Question

Ich häng schon seit stunden an diesen beiden Aufgaben, krieg sie aber nicht gelöst und bin schon am verzweifeln, Wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir helfen würdet!

Answer 1

2^{2·x} - 3·2^{x + 1} = -8

(2^x)^2 - 3·2·2^x + 8 = 0

Du brauchst jetzt nicht substituieren. Aber es ist praktisch. Aber generell ist das eine quadratische gleichung

2^x = 4 --> x = 2

2^x = 2 --> x = 1

Comments

3·9^{-x} + 9^x = 4

3 + (9^x)^2 = 4·9^x

(9^x)^2 - 4·9^x + 3 = 0

9^x = 3 --> x = 1/2

9^x = 1 --> x = 0

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hallo und vielen dank für deine schnelle antwort!

Ich frag mich aber wie du auf die 4 gekommen bist, mein größtes Problem ist, dass ich immer wieder am Ende 2^x=-2 stehen habe.

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Du siehst es besser wenn du substituierst

(2^x)^2 - 3·2·2^x + 8 = 0

(2^x)^2 - 6·2^x + 8 = 0

Subst. z = 2^x

z^2 - 6·z + 8 = 0

Das ist jetzt eine quadratische Gleichung die man lösen kann.

z = 4 ∨ z = 2

Nun interessiert ja nicht z sondern x. Also resubstituiert man

2^x = 4

2^x = 2

So klar?

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achsooo jaaa, omg ich danke dir so sehr! & tut mir Leid für die späte Frage!

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noch eine letzte frage: warum wird 9^-x in deinem nächsten Schritt zu (9^x)^2 ? sonst wäre alles beantwortet :)

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man multipliziert die ganze gleichung mit 9^x

und das 3*9^-x wird dann nur zu 3.

Answer 2

c) 2^2x - 3*2^{x+1} = -8,

(2^x)^2 - 3*2*2^x + 8 = 0

(2^x)^2 - 6"3^x + 8 = 0 | faktorisieren. -2*(-4) = 8  und -2 + (-4) = -6

(2^x - 4)(2^x - 2) = 0

Lösungen:

2^x1 -4 = 0 ==>2^x1 = 4 ==>  x1 = 2 , denn 2^2 = 4

oder

2^x2 = 2 ==> x2 = 1 , denn 2^1 = 2 

d) 3*9^{-x} + 9^x = 4   | *9^x

3 + (9^x)^2 = 4*9^x

 (9^x)^2 - 4*9^x + 3 = 0           | faktorisieren   (-1)*(-3) = 3 und -1 + (-3) = -4

(9^x - 3)(9^x - 1) = 0  

Lösungen:

9^x1 = 3 ==> x1 = 1/2, denn √(9) = 3

9^x2 = 1 ==> x2 = 0, denn 9^0 = 1