Exponentialgleichung durch Substitution lösen: e^2x-5e^x+6=0

Question

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, was eine Substitution überhaupt genau ist. Ich habe die Aufgabe:

e^2x-5e^x+6=0

Ich habe die 6 dann mit Minus auf die andere gebracht und dann e^x=u gesetzt. Aber wieso muss man das denn 'u' setzen? Aufjeden Fall komme ich danach nicht weiter, hoffe auf hilfreiche Antworten, danke:)

Answer 1

Hallo,

e^2x - 5e^x + 6=0  , setze  z = e^x 

z² - 5z + 6 = 0  kann man mit pq-Formel lösen:  z = 3 ∨ z = 2

e^x = 3  oder e^x = 2

x = ln(3) ≈ 1,0986    oder   x = ln(2) ≈ 0,6931

Gruß Wolfgang

Answer 2

e^x = u

e^2x = (e^x)^2 = u^2

u^2-5u+6 = 0

(u-2)(u-3) = 0

u1=2

u2 = 3

x1= ln2
x2 = ln3

Answer 3

Exponentialgleichung durch Substitution lösen

Substituieren bedeutet ersetzen. Du kannst jeden Buchstaben wählen . also nicht unbedingt u.

Answer 4

\(e^{2x}-5e^{x}+6=0\)

Weg ohne Substitution:

\(e^{2x}-5e^{x}=-6\)

\(e^{2x}-5e^{x}+(\frac{5}{2})^2=-6+(\frac{5}{2})^2\)

\((e^{x}-\frac{5}{2})^2=0,25|±\sqrt{~~}\)

\(1.)\)

\(e^{x}-2,5=0,5\)

\(e^{x}=3\)

\(x\cdot \ln(e)=\ln(3)\)  mit \(\ln(e)=1\):

\(x_1=\ln(3)\) 

\(2.)\)

\(e^{x}-2,5=-0,5\)

\(e^{x}=2\)

\(x_2=\ln(2)\)

Comments

oder direkt:

e^(2x) - 5e^x+6 =0

Vieta:

(e^x-3)(e^x-2) = 0

e^x= 3 -> x = ln3

e^x = 2 -> x = ln2

Diese Zahlen laden dazu ein. Hier geht es ohne viel Tamtam.