Question

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Gesucht sind die orthogonalen Trajektorien der Parabelschar c · y(x) = x^2

Stellen Sie die Trajektorien graphisch dar.

Vielen Dank！！！

Answer 1

Mach doch einfach, was da steht. Du sollst $$(1)\quad cy-x^2=0$$ nach \(x\) ableiten. Macht $$(2)\quad cy'-2x=0.$$ Dann das \(c\) eliminieren. Macht $$(3)\quad y'=\frac{2y}{x}.$$ Dann zur DGl der orthogonalen Trajektorien uebergehen. Macht $$(4)\quad y'=-\frac{x}{2y}.$$ An dieser Stelle ist dann (4) zu loesen ...

Hier noch das Bildchen. Sieht doch sogar interessant aus ...

Comments

  Die Technik des ===>  crimestop  frei nach George Orwell . Wir alle verhalten uns grundsätzlich so, als wäre Denken ein Verbredhen . Und kurz vor dem Ziel geben wir auf .  Rein von der Farbgebung ist das etwas verwirrend; ich hätte mir gewünscht:  Parabeln einheitlich rot,  Kreise einheitlich blau .

   Weil die Trajektorien sind konzentrische Kreise um den Pullnunkt .

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Schwaetz net so viel bleds Zeig dahaer, rechn lieba richdich. Des sin Elippsae.

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    Wie soll das gehen? Eine Ellipse hat ja zwei freie Parameter; wir haben aber nur eine Integrationskonstante .   Die Kreise gruppieren sich konzentrisch um den Ursprung; wo soll da eine zweite Konstante sein?

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Fuer Kreise muesste es \(y'=-x/y\) heissen. Es ist aber nun mal (4) zu loesen. Es reicht auch, sich das Bild anzugucken. Auch wenn Dir die Farben nicht passen (Pink war leider alle), sieht man ja, dass das keine Kreisboegen sind.

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  Wo du Recht hast, hast du Recht . Wenn ich mich nicht zum zweiten Mal verrechnet habe: konzentrische Ellipsen im Verhältnis große zur kleinen Halbachse = sqr ( 2 ) : 1

   Kennst du den alten Witz aus der teoretischen Physik ( wo ich her stamme? )

   G = Gravitationskonstante; e = elementarladung; h = Wirkungsquantum , c = Lichtgeschw . Weil die teoretischen Physiker rechnen ja so:

   G = e =  h = c = i = Pi = 2 = 1 ...

Answer 2

  Mal sehen .

    ln  (  y  )  =  2  ln  (  x  )       (  1a  )      (  und siehe da; c ist eliminiert . )

     ln  (  y  )  -  2  ln  (  x  )  =  0        (  1b  )   (  x und y sind gleich berechtigt )

    y  ' / y  -  2 / x  =  0       (  2a  )

    y  '  =  2  y / x     (  2b  )

    die Trajektorie

    y  '  =  -  x / 2 y      (  3a  )

   y  dy  =  -  x  dx     (  3b  )

   y  ²  =  -  x  ²  +  R  ²

   x  ²  +  y  ²  =  R  ²       (  3c  )

   Hey das sind ja Kreise . Aber irgendwie   auch logisch, in der Nhe der Ordinate werden die Parabeln ja beliebig steil . Und in der Umgebung der x-Achse verlaufen sie sehr flach .

Comments

  Ihr könnt ja mal googeln nach dem Schlager von Dorthe Kollo

  " Ein ganz schlauer / War der Schopenhauer "

   So wohl die Reimtechnik als die Story,  die in den einzelnen Strofen behauptet wird, sind sehr originell .  Unter anderem geht es um Dorthes Erlebnisse in der " Oberprima "

   Als ich in der Jahrgangsstufe war. Da gab's beim ===>  Hertie ein Buch . So an die 1 000 Seiten für nur 9 DM . Viele von uns hatten das; das Tema " Differenzialgeometrie . "  Da kamen  auf blauen Merkkästchen die Ableitungsregeln für Schüler und auf rosa Kästchen für SchüleRINNEN .   Die machten z.B. die ganze Kegelschnittgeometrie .

   Aber auch über DGL konntest du eine Menge erfahren . So wurde z.B. über die DGL zweiter Ordnung der Newtonschen Mechanik ausgesagt, häufig besitzt diese DGL ja erste Integrale; sprich: Erhaltungssätze erster Ordnung .

   Und dann kam etwas, das stand nicht mal in unseren Studientexten .  Diese ersten Integrale besitzen singuläre Lösungen, die nicht mal die Ausgangsgleichung selber hat . Z:B. bei der Feder das Hooksche Gesetz.  Ein erstes Integral ist der Energiesatz; der erlaubt aber die Lösung,  dass der Schwinger arretiert ist und x ( t ) = const , ( d/dt ) x ( t ) ident  =  0  .

   Vergleichbare stationäre Lösungen besitzt die ursprüngliche Gleichung 2. Ordnung nicht .   Auch die " Variation der Konstanten "  lernte ich aus jenem rosa_blauen Buch .

  Hier wer kennt noch den Witz von die Frau Babbisch unn die Frau Struwwisch aus die Määnzer Bütt

  " Raumpfleger beiderlei Geschleschts gesucht. Hier wer hatt'n sowas? "

   Was mich damals tief beeindruckte . Und dann war da noch ein tolles Gemälde mit Beispiel: Ortogonaltrajektorien .

  gibt es analoge Bücher heute noch?