Wie bestimmt man Cosinus und Sinus Werte ohne TR?

Question

Aufgabe: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit

$$ f:R\rightarrow R, mitf(x)=\begin{cases} cos(2x-1), falls x\le 2 \\ sin(|3x-8|), falls x>2 \end{cases} $$

Mir ist klar was zu tun ist, allerdings kann ich die Werte ohne hilfe (PC,TR) nicht bestimmen.

Gibt es da irgendwelche Tricks?

Answer 1

cos(2x-1) ist stetig auf ganz ℝ.

sin(|3x-8|) ist stetig auf ganz ℝ.

Du brauchst also nur noch zu prüfen, ob an der Stelle x = 2 der Grenzwert existiert und gleich dem Funktionswert ist.

Funktionswert ist cos(3).

Der Grenzwert existiert, wenn linksseiter und rechtsseitiger Grenzwert existieren und gleich sind.

Der linksseitige Grenzwert existiert und ist cos(3) wegen Stetigkeit von cos(2x-1) und er ist damit gleich dem Funktionswert.

Der rechtsseitige Grenzwert existiert wegen Stetigkeit von sin(|3x-8|) und ist sin(2).

Prüfe also, ob cos(3) = sin(2) ist.

Begründe dazu, dass cos(3) < 0 und sin(2) > 0 ist.

Konkret ausrechnen brauchst du cos(3) und sin(2) dazu nicht.

Comments

Ok danke:)

Könnte man dies bei cos(3) etwa damit begründen, dass der Cosinus ja zwischen pi/2 und 3/2pi negativ ist und das pi/2<3<3/2pi gilt und somit cos(3)<0 sein muss?

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Ja, stimmt so.