Für welches a hat das Gleichungssystem (a) Keine Lösung, usw.

Question

x+y+z=0

2x*ay+z=1

-2x-ay-az=-2

a) Keine Lösung

b)genau eine Lösung?

c)Wie lautet die Lösung des Gleichungssystems für a=-2

Stehe total auf dem Schlauch, ohne Parameter konnte ich bis jetzt gut arbeiten, dies zerbricht mir aber total den Kopf.

Comments

Ich nehme mal an, die zweite Gleichung heisst richtig \(2x+ay+z=1\). Dein Gleichungssystem kannst Du in zwei straighten Schritten auf Stufenform bringen. Das \(a\) stoert dabei ueberhaupt nicht. Algebra ist ja Rechnen mit Buchstaben.

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Stimmt, 2x+ay+z=1 war gemeint.

Leider hilft mir deine Antwort gerade auch nicht viel weiter :/

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Welche Art von Antwort wuerde Dir denn weiterhelfen?

Ich will Dir mal 'nen Tipp geben. Addiere die zweite Gleichung zur dritten und subtrahiere das Doppelte von der ersten von der zweiten. Wenn Du das hast, kann man weitersehen.

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Problem ist eher, dass mir die Theorie zu den Parametern fehlt, mein Skript gibt mir da leider keine Antwort drauf.

Ich weiss nicht, wie ich die zweite und dritte Gleichung in die Matrix Form bekomme.

schreibe ich da einfach nur den Parameter rein und Blende die Variablen komplett aus?

Also:

1	1	1		0
2	a	1		1
-2	-a	-a		-2

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Das ist die Koeffizientenmatrix plus die rechte Seite. Darauf kannst Du jetzt wie ueblich arbeiten. Ob da ein \(a\) oder eine konkrete Zahl steht, -- wen juckt's? Algebra ist Rechnen mit Buchstaben (und Zahlen). Also: Addiere die zweite Zeile zur dritten und subtrahiere das Doppelte der ersten von der zweiten..

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Bei a = -2 komme ich au x= -0,5, y= -0,5 und z=1, ist dies richtig?

Answer 1

$$\begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&2x+ay+z&=1&|2\cdot(1)-(2)\\&(3)&-2x-ay-az&=-2&|2\cdot(1)+(3)\end{aligned} $$

$$\begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&0x+(2-a)y+z&=-1\\&(3)&0x+(2-a)y+(2-a)z&=-2&|(3)-(2)\end{aligned} $$

$$\begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&0x+(2-a)y+z&=-1\\&(3)&0x+0y+(1-a)z&=-1\end{aligned} $$

$$z=\frac{1}{a-1}\quad a\neq 1 $$

$$ (2-a)y=-1-\frac{1}{a-1}=\frac{a}{1-a}\\ \Leftrightarrow y=\frac{a}{(1-a)(2-a)},\quad a\neq1,2$$

$$ x=-y-z=-\frac{a}{(1-a)(2-a)}-\frac{1}{a-1}=\frac{2}{2-a} ,\quad a\neq 2$$

Für a=2 oder a=1 ist das LGS nicht lösbar, für alle anderen Werte a∈ℝ schon.

Und für a=-2 hat man dann

$$x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{6}\\z=-\frac{1}{3}$$

Comments

Ich komme auf x= -0,5, y= -0,5 und z=1

Entweder stimmt deine oder meine Rechnung nicht?

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Wie lautet denn deine Rechnung?

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So habe ich das berechnet, wenn a=-2 ist.

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im ersten Bild im vorletzten Matrixblock hast du ein Vorzeichenfehler gemacht. In der letzten Zeile bei der dritten Spalte steht a+2. Das ist falsch. Es muss aber -a+2 heißen.

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+az da habe ich einen Fehler gemacht, als ich das LGS hier geschrieben habe.

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dementsprechend müsste mein Ergebnis auch richtig sein oder nicht ?

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Welches +az ?

Nein, dein Ergebnis ist falsch.

Matrixblock hast du ein Vorzeichenfehler gemacht.
In der letzten Zeile bei der dritten Spalte steht a+2. Das ist falsch. Es muss aber -a+2 heißen.

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Die richtige Gleichung ist:

x + y +z = 0

2x + ay +z = 1

-2x -ay + az = -2

Ausgehend davon, habe ich richtig gerechnet oder?

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Oben steht aber in der dritten Zeile -az

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Richtig, das habe ich falsch vom Übungsblatt ubertragen.

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Hier das Übungsblatt. Nach dem habe ich doch richtig gerechnet oder? 

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EDIT. Ok, dann pass bitte beim nächstenmal auf!!! Dann entstehen nicht solche Missverständnisse.

$$ \begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&2x+ay+z&=1&|2\cdot(1)-(2)\\&(3)&-2x-ay+az&=-2&|2\cdot(1)+(3)\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&0x+(2-a)y+z&=-1\\&(3)&0x+(2-a)y+(2+a)z&=-2&|(3)-(2)\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &(1)&x+y+z&=0\\&(2)&0x+(2-a)y+z&=-1\\&(3)&0x+0y+(1+a)z&=-1\end{aligned} $$

$$ z=-\frac{1}{a+1}\quad a\neq -1 $$

$$ (2-a)y=-1+\frac{1}{a+1}=\frac{-a}{1+a}\\ \Leftrightarrow y=\frac{-a}{(2-a)(1+a)},\quad a\neq -1,2 $$

$$ x=-y-z=\frac{a}{(2-a)(1+a)}+\frac{1}{a+1}=\frac{2}{(2-a)(a+1)} ,\quad a\neq -1 $$

Für a=-2 hat man:

$$ x=-\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{2}\\z=1 $$

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EDIT: Du hast bei deinen Rechnungen echt ,,Glück gehabt'', da trotz deiner falschen Zwischenergebnisse das richtige rausgekommen ist.

im ersten Bild im vorletzten Matrixblock hast du ein Vorzeichenfehler gemacht. In der letzten Zeile bei der dritten Spalte steht a+2. Das ist falsch. Es muss aber -a+2 heißen.

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Danke für deine Mühe, und sorry.

Ich habe die ganze Zeit mit +az gerechnet, aber aus welchem Grund auch immer, dies falsch aufgeschrieben

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Alles Gut. :)

 Aber Hauptsache, du verstehst es am Ende.

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Hallo hallo97

Für so viel Geduld muss ich dir einen Daumen geben :-)

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

Danke für die Blumen. :)

Gruß hallo97