Extremwertaufgabe: Fünfeck in Kreis einbeschrieben

Question

In der untenstehenden Skizze ist ein Fünfeck in einen Kreis mit dem Radius r einzuschreiben. Dabei ist der Kreisdurchmesser gleich der Basis des Fünfecks, alle fünf Eckpunkte liegen auf einem Halbkreisumfang und die gezeichnete Figur ist spiegelsymmetrisch. Berechnen Sie die maximale Fünfeckfläche!

Ich habe Schwierigkeiten für die obrige Aufgabe einen Ansatz zu finden. Einzige Idee war die Fünfeckfläche als 4 gleichgroße Dreiecke darzustellen. Wäre das eine Möglichkeit?

Freue mich über jede Hilfe!

Mfg DerStümper

Comments

siehe dieses Antwort: https://www.mathelounge.de/554818/extremalaufgabe-bestimmen-einheitskreis-einbeschriebene

Falls etwas nicht klar ist, so frage nochmal nach.

Gruß Werner

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@Werner: Diese Frage ist wesentlich simpler als die alte allgemeinere Frage.

@Stümper: Man verwendet in der Geometrie üblicherweise einbeschreiben / einbeschrieben. Gegensatz zu eingeschrieben bei einem Kurs in der Uni oder so. Habe das in deiner Überschrift geändert.

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Diese Frage ist wesentlich simpler als die alte allgemeinere Frage.

eben! Daher kann man das hier auch wesentlich simpler mit Kenntnis des zweiten Teils der allgemeinen Antwort lösen. Die Fläche ist \(F=r^2\cdot \sqrt{2}\). Mit der zusätzlichen Kenntnis einiger Halbwinkelformeln kann man das dann direkt hinschreiben.

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Mit drei zusätzlichen Peripheriepunkten unterhalb des Durchmessers entsteht ein Sekantenachteck.

Answer 1

Hallo

 wenn die Figur spiegelsymmetrisch ist musst du ja nur die Hälfte im Viertelkreis maximieren.

dann hast du 2 Dreiecke mit dem Winkel a und 90-a, von denen du alle Größen abhängig von a kennst, berechne damit die Fläche und bestimme das a.

Gruß lul

Answer 2

Da Achsensymmerie vorliegt, gibt es zwei Trapeze des Flächeninhalts x·(1+√(1-x²))/2 und zwei Dreiecke.mit dem Flächeninhalt (1-x)·(√(1-x²))/2. Fläche des Fünfecks: F(x)=x·(1+√(1-x²))+(1-x)·(√(1-x²)). Vereinfachen vor dem Ableiten.

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Mit zwei Dreiecken geht es einfacher:

Answer 3

  Ehe ihr euch   hier zu sonstwas   versteigt .   Ich denke immer vom Winkel her; von der Ähnlichkeit . Weil der absolute Radius des Kreises kann nun wirklich keine Rolle spielen .

   Wegen der Symmetrie ist das Fünfeck um den Kreismittelpunkt zentriert;  Ecke Nr. 3  hat Polarkoordinate  ß3  =  Pi / 2 .  Der gesamte Flächeninhalt setzt sich aus Dreiecken über  ===>  Kreuzprodukte zusammen 

    F  (  ß  )  =  R  ²  [  sin  (  ß  )  +  sin  (  Pi / 2  -  ß  )  ]  =    (  1  )

                  =  R  ²  [  sin  (  ß  )  +  cos  (  ß  )  ]     (  2  )

     Natürlich könntest du  (  2  )  nach  ß ableiten;  aber es gibt eine wesentlich plausiblere  Darstellung. Beachte Pythagoras und das Additionsteorem .

      F  ²  =  R  ^  4  [  1  +  sin  (  2  ß  )  ]        (  3  )

     (  3  )  ist eine Funktion von nur der halben  Periode;  also nicht 360 , sondern nur  180  °  Und sie ist nicht um 90  °   C  zentriert, sondern um ihr Maximum bei 45 °  -  und genau das hatten wir gesucht .

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 Werner Salomon  gibt den Flächeninhalt richtig an .  Nur eben mit dem Unterschied, dass sich das Genie nicht, wie Werner meint, mit dem halben winkel begnügt, sondern selbst sicher nach dem doppelten greift.

   Wie fragte schon  Herzog Karl Eugen?

   " Woran erkennt man das Genie?  Am halben oder am doppelten Winkel? "

   " am halben "  , antwortete die Klasse Pflicht schuldigst.  Denn es handelte sich durchweg um halbe Portionen.  Nur Friedrich Schiller bekannte stolz

   " Am doppelten Winkel. "

   Denn Schiller war bekanntlich eine doppelte Portion .

   Wenn du eine Fläche quadrierst, dann kommen ja  "  Meter Hoch 4 "  raus .

   Mein Daddy, Spitzname  " Leo "  , pflog immer zu sagen, er sei für mich " die 4. Dimension "  Er glaubte in der Tat, er wüsste alles besser, was sich dann als geradezu Verhängnis voller Irrtum heraus stellte .

    Ich   habe auch nie bezweifelt, dass sich Anästesisten und Synästetiker einen Tesserakt körperlich vorzustellen vermögen.  Synästetiker haben nur ganz klassisch diese Schwierigkeit mit dem Hochklappen des Modells in die  4 . Dimension,   weil dieses just dann in allen Regenbogenfarben zu flirren beginnt .

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Hallo Habakuk,

Der gesamte Flächeninhalt setzt sich aus Dreiecken über  ===>  Kreuzprodukte zusammen.

Die Idee ist gut, das hätte von mir sein können ;-)

Gruß Werner

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  Lieber Werner;  ein Sachvrthalt, auf den ich schon als "  Aktiver "  stieß -  als CAD_Programmierer eines Welt_Elektronikkonzerns.

      Kennst du ===>  Antonio Damasio  ===>  Amygdala ?  Weil ich darf hier nicht sagen, was der genau beruflich gemacht hat  - steht aber in Wiki .  Weil der Frankfotter sescht ja ganz tippisch

   " Isch hab da so komisches Gefühl; des hat misch noch nie getrooche. "

   Weil bei meinem Gruppenleiter  Günter Kaufmann hatte ich ein ganz saukomisches Gefühl.  Der moserte schon mal rum, heute werde das Abi ja quasi jedem nachgeschmissen.   Aber er hatte die wohl feile Ausrede;  nein er selber habe nie Abi gemacht ...

   Dann hatte er den Ing grad .    Nur komisch . Eines Tages fragte ich mich schon

    "  Was der alles über Matrizen weiß.  Wozu eigentlich hab ich dann studiert? "

    Najaa;  und eines Tages machte der mich eben darauf aufmerksam, dass das allgemeine  n_Eck nicht konvex ist  ( Mann woher kannte der schon wieder die Definition der konvexen Menge? )

    Das führt dann dazu, dass der Schwerpunkt  i.A. nicht innerer Punkt der Figur ist.  Er dachte da an jenes typisch griechische Teorem. dass du jedes n_Eck in Dreiecke zerlegen kannst und dann den gesamten Flächeninhalt aufsummieren.

     Und dann trat eines Tages unser  HAL  der Big Boss  "  Onkel Bernd "  an mich heran .

    "   Wir brauchen eine Routine, die den Flächeninhalt von Lötaugen berechnet . Überlegense mal, wie man das machen könnte. "

    " Keine Ahnung. Wie soll ich das angehen? "

    " Ich habe nicht gesagt, dass Sie jetzt gleich sofort ein Programm schreiben sollen.  Ich sagte, denkense erst mal nach .  Weil wenn ICH es wüsste, könnte ich die Arbeit genau so gut alleine machen ... "

     Und innerhalb von fünf Minuten hatte ich es .  Mir kam nämlich die Idea mit Kepler und seinem 2 . Gesetz .

   Schon immer hatte ich mich gefragt:  Woher nimmt eigentlich das Kreuzprodukt seine Daseinsberechtigung?  Wieso kannst du eine ( ebene ) Figur als Vektor darstellen?  Und wieso  muss dieser Vektor ausgerechnet senkrecht stehen auf der Ebene?

     Der Witz an der Sache oder " se joke behind se sing "  , wie wir Runaways sagen.  Vektoren haben immer etwas zu tun mit Superposition .

   Dem Kaufmann seinen inneren Punkt brauchst du nämlich gar nicht .  Stell dir z.B. ein Quadrat vor  ABCD  .   Jetzt wählst du einen Null-oder Projektionspunkt  O  ,  der meinetwegen im Andromedanebel liegt.  Von O ausgehend, führst du die Dreieckszerlegung deines Quadrats durch:

  OAB  ;  OBC  ;  OCD  ;  ODA

   Diese vier Dreiecke sind wie gesagt intergalaktisch und dürften zu 99.99 % außerhalb der Quadratfigur fallen . Wenn du aber her gehst und stellst jedes dieser Dreiecke als Kreuzprodukt dar und summierst die selben hinterher  vektoriell nach Betrag und Richtung auf,  bekommst du als Endergebnis dein Quadrat .