Kreis mit dem Radius r = 4cm wird ein....einbeschrieben. Extremwertaufgabe

Question

Aufgabe:

Einem Kreis mit dem Radius r=4 cm wird

1-) ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt

2-) ein Rechteck mit maximalem Umfang

3-) ein Dreieck mit größtem Flächeninhalt

einbeschrieben.

Problem/Ansatz:

Berechnen die Flächen und den Umfang.

Ich würde mich sehr über eine ausführliche Antwort freuen, da mir das Thema nicht sehr klar ist.

Vielen Dank !!!

Comments

Berechnen die Flächen und den Umfang.

Welche? Die Überbleibsel des Rechtecks?!

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Vom Duplikat:

Titel: Dreieck mit größtem Flächeninhalt

Stichworte: extremwertaufgabe

Aufgabe:

Einem Kreis mit Radius r=4 cm wird ein Dreieck mit größtem Flächeninhalt eingeschrieben.

Berechnen die Fläche und Umfang.

Vielen Dank im Voraus !

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h·(2·r - h) = (c/2)^2 --> c = 2·√(2·h·r - h^2)

A = 1/2·c·h = 1/2·2·√(2·h·r - h^2)·h = √(2·h^3·r - h^4)

A' = (6·h^2·r - 4·h^3)·1/(2·√(2·h^3·r - h^4)) = 0 --> h = 3/2·r

c = 2·√(2·(3/2·r)·r - (3/2·r)^2) = √3·r

a = b = √((√3/2·r)^2 + (3/2·r)^2) = √3·r

Damit ist das Dreieck gleichseitig.

Answer 1

das Dreeck müsste gleichseitig sein, zusammengesetzt aus drei  gleischenkligen Teildreiecken,

Teildreieck:

a=b = 4cm , α =β= 30° γ =120°

Die Sehnenlänge ist die gesuchte Seite des Dreieckes

s= 2 *4 *sin (120/2)

U = 3*s

A= s²/4*  √3

viel Erfolg beim berechnen!

Answer 2

3)

h·(2·r - h) = (c/2)^2 → c = 2·√(2·h·r - h^2)

A = 1/2·c·h = 1/2·2·√(2·h·r - h^2)·h = √(2·h^3·r - h^4)

A' = (6·h^2·r - 4·h^3)·1/(2·√(2·h^3·r - h^4)) = 0 → h = 3/2·r

c = 2·√(2·(3/2·r)·r - (3/2·r)^2) = √3·r

a = b = √((√3/2·r)^2 + (3/2·r)^2) = √3·r

Damit ist das Dreieck gleichseitig.

Answer 3

r = 4 cm
d = 8 cm

Die Skizze

Pythagoras
d^2 = x^2 + y^2
64 = x^2 + y^2
y = √ ( 64 - x^2 )

A = x * y
A ( x ) = x * √ ( 64 - x^2 )
A ´( x ) = √ ( 64 - x^2 ) + x * ( -2x ) / ( 2 * √ ( 64 - x^2 ))
x = 4 * √ 2
y = 4  * √ 2
x = y => ein Quadrat

2.)
U = 2x + 2y
U ( x ) = 2x + 2 * √ ( 64 - x^2 )
Extremwert
U ´( x ) = 0

Dasselbe Ergebnis wie für die Fläche

Answer 4

Das gesuchte Dreieck ist gleichseitig.