Wie untersucht man, ob eine Reihe konvergiert bzw. absolut konvergiert?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die beiden folgenden Reihen konvergieren bzw. absolut konvergieren:

a) \( 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+-\ldots \)

b) \( \sum \limits_{n=o}^{\infty} a_{n} \) mit \( a_{2 n}:=(-1)^{n} \frac{1}{n} \) und \( a_{2 n-1}:=\frac{1}{2^{n}} \)

Wie kann ich untersuchen, ob die Rehen konvergieren bzw. absolut konvergieren? Bei dem letzten weiß ich nichtmal, was es wirklich ist.

Answer 1

Bei a) liegt eine alternierend (betragsmässig monotone) Nullfolge vor. Die konvergiert.

a_n = (-1) ⁿ* 1/(2n+1)           , n=1,2,…

Absolute Konvergenz (übliche Definition): Eine Reihe a_n konvergiert absolut, wenn die Reihe |a_n| konvergiert.

  | a_n| = 1/(2n+1)   > 1/(2n +2) = 0.5*(1/(n+1))      entspricht 0.5* harmonische Reihe. Die divergiert. Somit divergiert die Reihe absolut.

Zu b) Beachte bitte die Diskussion beim folgenden Link:

https://www.mathelounge.de/5589/konvergiert-die-reihe-absolut-a-1-n-1-n-und-a-1-2-n

Vielleicht hat inzwischen jemand die Variante für 'nicht absolut' auch noch gerechnet.

Comments

Ich habe diese erste Reihe (Leibniz-Reihe) gefunden und die Konvergenz folgt aus dem Leibniz-Kriterium oder habe ich da etwas übersehen?

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Danke. Genau. Wusste nicht mehr, dass das Leibniz-Kriterium heisst.