Passende Gleichung für eine Lösungsmenge finden?

Question

Umkehraufgaben zu Gleichungen:

Geben Sie jeweils eine Gleichung zur angegebene Lösungsmenge an.

a) Die Gleichung hat die Lösungsmenge \( \{3\} \)

b) Die Gleichung hat die Lösungsmenge \( \{-2 ; 4\} \)

c) Die Gleichung hat genau drei Lösungen.

d) Die Gleichung hat keine Lösung.

e) Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

f) Die Gleichung hat die Lösungsmenge \( \left\{-\frac{1}{2}\right\} \) und enthält einen Bruch, in dessen Nenner die Variable steht.

Ansatz:

Wie löst man solche Aufgaben? Ich könnte es ständig mit der PQ-Formel versuchen, aber das würde viel Zeit in Anspruch nehmen. Thema Quadratische Gleichungen.

Answer 1

wenn es um die Lösungsmenge von Gleichungen geht, dann sind die Nullstellen einer Gleichung gemeint. Bei quadratischen Gleichungen der Form $$ f(x)=x^2+px+q $$ hat man ja bekanntlich diese Lösungsformel:

$$ x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{D}, mit D:=\Big(\frac{p}{2}\Big)^2-q $$

Nun gilt ja folgendes

2 Lösungen wenn D>0 gilt

1 Lösung, wenn D=0 gilt und

keine Lösung, wenn D<0 gilt

Quadratische Gleichungen kannst du auch faktorisiert aufschreiben, indem du die bekannten Nullstellen für die Linearfaktoren benutzt, also $$ f(x)=(x-x_1)\cdot (x-x_2) $$

Du kannst auch den Satz von Vieta heranziehen, der einen Zusammenhang zwischen den Nullstellen und den Koeffizienten p und q herstellt. Dann ist$$ x_1+x_2=-p\\x_1\cdot x_2=q $$

Comments

wenn es um die Lösungsmenge von Gleichungen geht, dann sind die Nullstellen einer Gleichung gemeint

Gleichungen haben keine Nullstellen.

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Gleichungen haben Nullstellen. Meinetwegen betrachte ich die hier $$ f(x)=,,irgendwas'' $$

Nun setzt du für x was ein, sodass dieses ,,irgendwas'' Null ergibt. f(x) kann man selbst auch wieder als eine Zahl interpretieren.

EDIT:

$$ f(x)=,,irgendwas'' $$ ist hier sogar eine Funktion. Wegen dem =-Zeichen, aber auch eine Gleichung!

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Gleichungen haben Lösungen, aber keine Nullstellen.

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Aber am Ende sind die Lösungen die Nullstellen. Weil das, was du von deiner Gleichung berechnest, sind gerade die Werte, die deine Gleichung lösen/erfüllen und somit die Stellen sind, wo der Wert Null angenommen wird, die NULLSTELLEN.

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@hallo97

Ich konnte nun alle Aufgaben bis auf E und f rechnen.

Kannst du mir da helfen bitte ?

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Also bei e wäre das eigentlich nur eine konstante Funktion. Weil diese nimmt ja für alle x∈ℝ immer denselben Wert an.

Zu f könntest du die dir ja eine quadratische Gleichung in faktorisierter Form aufstellen, die nur -0,5 als Lösung hat. Und ansonsten könnte man durch ,,geschicktes'' Hinzupacken von Summanden oder Faktoren erreichen, dass man am Ende auch einen Bruch mit dabei hat, der x im Nenner hat. Du ,,verschlimmerst'' eigentlich hier nur deinen Ausdruck.

Answer 2

zu A) Die Gleichung hat die Lösungsmenge {-2 ; 4}.

Einfachste Möglichkeit:

(x+2)*(x-4)=0

B) Die gleichung hat drei lösungsmengen

Formuliere bitte deine Anliegen sorgfältiger!

Comments

Sorry , „ die Gleichung hat genau drei lösungsmengen „

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Eine Gleichung besitzt immer genau eine Lösungsmenge, nicht mehr und nicht weniger. Deshalb hätte ich gerne gewusst, wie die exakte Formulierung der gesamten Aufgabenstellung lautet.

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Hier Beispiele zu 

d) Die Gleichung hat keine Lösung.

0 = 1

x^2 = -1

e^x = 0

e) Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

3 = 3

sin(x) = 1

bei f) machen wir es mal etwas anders:

f)(Foto) Die Gleichung hat die Lösungsmenge {-1/2} und enthält einen Bruch, in dessen Nenner die Variable steht.

Wir beginnen mit der Gleichung

$$x=-\dfrac 12$$die offenbar die angegebene Lösungsmenge hat. Nun gibt es viele, viele Möglichkeiten, noch irgendwie einen Bruch mit x im Nenner in die Gleichung zu bekommen, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge ändert. Ich schlage eine eher einfache Möglichkeit vor: Wir bilden auf beiden Seiten den Kehrwert:

$$\dfrac 1x = -2 $$Wir können bei Bedarf noch ein wenig herumbasteln, um die Gleichung zu verkomplizieren oder in irgendeine besondere Zielform zu verwandeln.

Alle Aufgaben sind vom Typ "ich bastele mir zu einer vorgegebenen Lösungsmenge ein Problem." Das ist zum Beispiel interessant beim Aufgabendesign.