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Die Aufgabe lautet :


Verifiziere den Satz von Gauß: an einer Kugel mir Radius \(R\)

für das Vektorfeld gilt: \(\vec{A}(\vec{r}) = \alpha\cdot \vec{r}\)


Ich würde die "linke

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Viele Fragen finde ich nicht gerade ... $$\vec{r}\equiv\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$ tun Physiker gerne schreiben. Und beim Ausrechnen der Divergenz spielt es keine Rolle, ob man spaeter ueber eine Kugel integrieren will oder nicht. Ich wuerde sagen, Du kannst weiterrechnen.

Wollte gerade antworten.

Ich bin nur verwirrt gewesen, da Fachliteratur den Vektorraum immer klar definiert und ich nicht wusste, inwiefern ich nun mit den Kugelkoordinaten anfangen durfte.

Ich bin nun in einem Buch fündig geworden und die Erklärung ist (für Physiker :)) sehr verständlich.


Entschuldige, dass ich keine genauere Frage definiert habe, aber dennoch super vielen Dank für die Antwort und die Hilfe, die du auf dieser Plattform anbietest.


Liebe Grüße <3

3 Antworten

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Beste Antwort



    Das Vektorveld


    A  (  r  )  =  a  r  e_r      (  1a  )


    und damit der gesamte Fluß durch eine Kugel vom Radius  r


     U  =  4  Pi  a  r  ³      (  1b  )


     Schau mal hier


https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik:_Nabla-Operator


    Steht übrigens auch im Bronstein; Divergenz in Kugelkoordinaten .


    div  (  A  )  =  1 / r  ²  ( d/dr )  (  r  ²  A_r  )     (  2a  )


     und mit  (  1a  )


  div  (  A  )  =  a / r  ²  ( d/dr )  r  ³  =  3  a     (  2b  )

   V  div  (  A  )  =  4  Pi / 3  r  ³  *  3  a  =     (  siehe  (  1b  )  )

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Danke für alle Kommentare.

wie schon im ersten Kommentar beschrieben, bin ich fündig geworden (zufälligerweiße im Bronstein).


Ihr seit alle klasse!

  Für dich eine kleine  Anekdote .  ===>  Werner Martienssen wusste, wo uns der Schuh drückt .

   Jedes Jahr im " Adpfent "  (  ===>  Gerhart Polt;  de Frankfotter kennt ja ganz tippisch des Wort mit die fümpf  "  TZ  "  ;   " Mortzatzventzkrantzkertze " ) 

    lag eine Knobelaufgabe aus, von der ich erst im Beruf erfahren sollte, dass ein Prof am CERN  sie erdacht hatte .  Dieser betrachtete sie als sein geistiges Eigentum und hatte allen Profs und Assistenten untersagt, Lösungen weiter zu geben .

   ( Es handelt sich um einen  Wettlauf "  a la Grimm "  zwischen Hase und Igel . )

   Die Geschichte eines dreifachen Rekordes; noch den selben Abend habe ich sie integriert . Etwa ein Jahr später dämmerte mir, dass man so Gleichungen als  DGL bezeichnet und das Lösungsverfahren als " Trennung der Veränderlichen "

   Dann gab ich den Zampano im Matheunterricht bei einem Lehrer, der natürlich null Durchblick hatte .  Noch besser waren meine Erlebnisse bei meinem Auftritt im ersten Semester in der Uni;  wenn du Lust hast, erzähle ich dir die damaligen Ereignisse ausführlich . Noch lange habe ich davon gezehrt. 

   Du kannst praktisch davon ausgehen: Keiner meiner Kommilitonen hatte auch nur irgendeine Anstrengung unternommen .   Martienssen lud uns ein zu einer Semesterabschlusskneipe .   Hier bot sich mir das selbe Bild; kein Student hatte sich irgendwelche Gedanken gemacht .

   Selbst Bier Trinken fiel ins Wasser - soll mal noch einer behaupten, es gebe da zu wenig Physikstudentinnen .  Ich fand mich eingekeilt zwischen zehn Dämlichkeiten,  die alle Panik hatten, wenn sie einen über den Durst trinken, fallen sie unangenehm bei Herrn Professor auf;  die Damen nötigten mich , UM DIE NÄCHSTE TASSE KAFFEE ZU WÜRFELN .   Irgendeine andere Art von Konversation  KAM NICHT ZU STANDE .

   Martienssen wie gesagt kannte unsere Sorgen .   In jener Kneipe verkündete er, während der Semesterferien  fänden jeden Sonnabend Morgen Ferienkurse statt

  ( nicht ungeschickt; auf diese Weise wird  den Studenten vermittelt, dass es ohne Arbeiten in den Semesterferien nicht geht. Was nun meine Wenigkeit anlangt - ich saß ganztägig täglich von 8 h - 20 h in der Seminarbücherei, unterbrochen nur durch die Mensa. )

   Auf diese Weise   würden wir seine sämtlichen Herren kennen lernen;  und am Beginn des 2. Semesters seien wir herzlich eingeladen, uns in die Übungsgruppe unserer Wahl einzutragen.

   Und damit komme ich zum Nablaoperator - warum ich das überhaupt erzähle.   Da war Wolf Groß, ein absolutes Genie .   Retorisch war der gut drauf und hatte   den Laden stets voll im Griff . Er war auch der einzige, der jeden Tag rasiert mit Anzug und Krawatte antrat .  Sein Programm: Er werde uns die ganzen Nabla Rechenregeln erklären, die normal in keinem Buch erklärt sind so wie z.B.

          rot  (  A  X  B  )

    Du musst dir jetzt vorstellen.    Mit Beginn des 2 . Semesters war die  durchschnittliche Mannschaftsstärke pro Gruppe  40 Mann. Und Groß hatte nur vier;  nur deshalb bekam er sieben zusammen, weil ich  bei meinen Freunden Werbung machte ...

   Was mir besonders schwer fiel:  Groß seine Alfadominanz;  ganz gegen meine Gewohnheit redete ich, wann ER wollte und nicht, wann ich wollte ...

   Und dann kam unausbleiblich sein Nabla Lieblingstema . Groß

     "  Ja schön .  div ( rot ) = 0 .  Aber das braucht ja niemand - jeden Falls fast nie .  Normal  benutzen Sie den Umkehrschluss:

   WEIL  div ( B ) = 0  , deshalb existiert  ein Stammpotenzial A  mit  B = rot ( A )

   An die Damen und Herren Matematiker und solche, die es werden wollen .

   Hier handelt es sich um eine  EXISTENZbehauptung, für die Sie den EXISTENZbeweis zu erbringen haben. "

    Kennst du ===>  Antonio Damasio und seine  ===>  Amygdala ? die experimentelle Widerlegung der Utoipie  ===>  Mr. Spock von der Enterprise.

   Also mein Mandelkern scheint jeden Falls top fit zu sein .

     Welcher Schlagabtausch zwischen Griß und seiner Gruppe geht jetzt ab?

    Ich  musste so lachen; weil es kam alles genau so paradox, wie ich es voraus gesehen hatte.   Bitte erst raten - dann weiter lesen.

   Zwischenrufe der Gruppe

   " Und?  Wie würden SIE es beweisen? "

    ( Immer die Schuld bei anderen suchen )   Groß

   "  Wieso ich?  Keine Ahnung . Fragen Sie doch nicht mich. Ehrlich; ich habe sogar in der Literatur gesucht und bis Heute nichts gefunden.

   Aber die Notwendigkeit dieses Existenzbeweises nicht gesehen zu haben. Den Vorwurf kann ich Ihnen nicht ersparen ... "

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erstmal der Fluss durch die Oberfläche:

wie man eine Kugelfläche in Kugelkoordinaten parametrisiert weißt du? Einfach den Radius konstant lassen und φ und Θ den kompletten Raumwinkel durchlaufen lassen.

Das vektorielle Flächenelement lautet

R^2 sin(θ)dφdΘ* e_r

Dein Vektorfeld lautet in Kugelkoordinaten V= αr*e_r=α*R*e_r auf der Oberfläche

Zum Integral

I=αR^3*∫(0 bis 2π) dφ ∫ (0 bis π) sin(Θ)dΘ

(e_r*e_r=1)

=4παR^3

Jetzt mit dem Volumenintegral:

Deine Divergenz stimmt. Div (V) =3*α=Constant

Dann gibt das Volumenintegral einfach

I=3α*Kugelvolumen = 3α *4π/3 R^3 =4πα*R^3

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Schau mal dort:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gaußscher_Integralsatz#Beispiel

Du musst nur noch den Radius anpassen.

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