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ich muss folgende Aufgabe zum Thema Potenzmenge bearbeiten: 

1. Finden Sie eine Menge A und B, C ∈ P(A) sodass weder C ⊆ B noch B ⊆ C gilt.

2. Sei A eine beliebeige Menge. Finden Sie ein C ∈ P(A), das C ⊆ B erfüllt für alle B ∈ P(A). Finden Sie ein B, das C ⊆ B erfüllt für alle C ∈ P(A). 

Leider weiß ich nicht, wie ich vorgehen muss bzw. passende Beispiele finde.


Vielen Dank vorab! :)

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Zu 1.:

Suche dir einfach zwei Mengen \(B\) und \(C\) mit \(C\nsubseteq B\) und \(B\nsubseteq C\). Dann kannst du \(A = B\cup C\) wählen, um ein passendes Beispiel zu erhalten.

Aber auch ohne diese Überlegung sollte man schnell auf passende Beispiele kommen. Ich würde beispielsweise das folgende Beispiel angeben:

[spoiler]

\(A = \left\lbrace 0, 1\right\rbrace\)

\(\mathcal{P}(A) = \left\lbrace\emptyset, \left\lbrace 0\right\rbrace, \left\lbrace 1\right\rbrace, \left\lbrace 0, 1\right\rbrace\right\rbrace\)

\(B = \left\lbrace 0\right\rbrace\)

\(C = \left\lbrace 1\right\rbrace\)

[/spoiler]

Zu 2.:

Zum ersten Teil:

Wenn \(C\subseteq B\) für alle \(B\in\mathcal{P}(A)\) sein soll, so muss insbesondere \(C\subseteq \emptyset\) sein, da \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\) ist. Die einzige mögliche Menge \(C \in \mathcal{P}(A)\) mit dieser Eigenschaft lautet demnach wie?

[spoiler]

Die einzige Menge \(C\in\mathcal{P}(A)\) mit \(C\subseteq B\) für alle \(B\in\mathcal{P}(A)\) ist gegeben durch \(C = \emptyset\).

[/spoiler]

Zum zweiten Teil:

Wenn \(C\subseteq B\) für alle \(C\in\mathcal{P}(A)\) sein soll, so muss insbesondere \(A\subseteq B\) sein, da \(A\in\mathcal{P}(A)\) ist. Die einzige mögliche Menge \(B \in \mathcal{P}(A)\) mit dieser Eigenschaft lautet demnach wie?

[spoiler]

Die einzige Menge \(B\in\mathcal{P}(A)\) mit \(C\subseteq B\) für alle \(C\in\mathcal{P}(A)\) ist gegeben durch \(B = A\).

[/spoiler]

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