Zu 1.:
Suche dir einfach zwei Mengen \(B\) und \(C\) mit \(C\nsubseteq B\) und \(B\nsubseteq C\). Dann kannst du \(A = B\cup C\) wählen, um ein passendes Beispiel zu erhalten.
Aber auch ohne diese Überlegung sollte man schnell auf passende Beispiele kommen. Ich würde beispielsweise das folgende Beispiel angeben:
[spoiler]
\(A = \left\lbrace 0, 1\right\rbrace\)
\(\mathcal{P}(A) = \left\lbrace\emptyset, \left\lbrace 0\right\rbrace, \left\lbrace 1\right\rbrace, \left\lbrace 0, 1\right\rbrace\right\rbrace\)
\(B = \left\lbrace 0\right\rbrace\)
\(C = \left\lbrace 1\right\rbrace\)
[/spoiler]
Zu 2.:
Zum ersten Teil:
Wenn \(C\subseteq B\) für alle \(B\in\mathcal{P}(A)\) sein soll, so muss insbesondere \(C\subseteq \emptyset\) sein, da \(\emptyset\in\mathcal{P}(A)\) ist. Die einzige mögliche Menge \(C \in \mathcal{P}(A)\) mit dieser Eigenschaft lautet demnach wie?
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Die einzige Menge \(C\in\mathcal{P}(A)\) mit \(C\subseteq B\) für alle \(B\in\mathcal{P}(A)\) ist gegeben durch \(C = \emptyset\).
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Zum zweiten Teil:
Wenn \(C\subseteq B\) für alle \(C\in\mathcal{P}(A)\) sein soll, so muss insbesondere \(A\subseteq B\) sein, da \(A\in\mathcal{P}(A)\) ist. Die einzige mögliche Menge \(B \in \mathcal{P}(A)\) mit dieser Eigenschaft lautet demnach wie?
[spoiler]
Die einzige Menge \(B\in\mathcal{P}(A)\) mit \(C\subseteq B\) für alle \(C\in\mathcal{P}(A)\) ist gegeben durch \(B = A\).
[/spoiler]
