Eine Ungleichung mit einem Parameter a im Nenner, die ≤ 0 ist. x / ( x -a ) ≤ 0

Question

Es sei a ∈ R\{0}. Bestimmen Sie die Lösungsmenge L der Ungleichung  in Abhängigkeit von a.

$$\frac{x}{x-a}≤0$$

Quelle: http://studienkolleg-münchen.de/wp-content/uploads/2018/01/mathe_muster_StandJan2018.pdf - Aufgabe 10

EDIT(4.8.2018 19:30): Zusatzinfo im Link: a ∈ R\{0}

Answer 1

Ohne Gewähr!

x / ( x -a ) ≤ 0        , a≠0 gemäss Vorgabe in Link, a≠x damit Bruch definiert ist

(x-a + a)/(x-a) ≤ 0 .

(x-a)/(x-a) + a/(x-a) ≤ 0

1 + a/(x-a) ≤ 0

1 ≤ - a/(x-a)

1. Fall a < x

a - x ≤ -a

2a ≤ x  .  Erinnere dich an a≠0, a≠x, a<x . ==> x> a

L_{a<x} = { x Element R  | x > a } 

2. Fall a>x 

a - x ≤ -a

2a ≤ x

Erinnere dich an a≠0, a≠x, x<a . ==> x < a
L_{a> x} = { x Element R  | x < a }

Zur Kontrolle und Korrektur meiner Antwort:

~plot~ x/(x-2) ~plot~

a=2

L = [0,2) 

Wo wurde oben die Bedingung x≥0 verloren?

Einfacher: Wissen über gebrochenrationale Funktionen anwenden.

f_{a}(x) = x / ( x -a )   , a ≠ x

hat die einzige Nullstelle in x = 0 und eine Polstelle in x = a. Beide Stellen mit Vorzeichenwechsel.

Ausserdem

lim_{x-> ±unendlich} f_{a}(x) = 1

Daher verläuft der Graph von f_{a}(x) = x / ( x -a ) genau zwischen den beiden Vorzeichenwechseln unterhalb der x-Achse.

1. Fall a<0. L = (a,0]

2. Fall a>0. L = [0,a)

Comments

Sorry, wie kommst du auf

$$ \frac{(x-a + a)}{(x-a)} ≤ 0$$

$$ \frac{(x-a)}{x-a} + \frac{(a)}{(x-a)} ≤ 0$$

?

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Das ist so was wie quadratische Ergänzung. Ich darf das, weil -a + a = 0. War aber hier völlig unnötig. Vgl. mein Nachtrag zu gebrochenrationalen Funktionen.

Answer 2

Für x≠a ist die Aufgabe äquivalent zu x·(x-a)≤0. Die Lösungsmenge lässt sich unmittelbar ablesen.

Comments

Dein Vorschlag ist noch einfacher als die Methode mit dem Graphen von gebrochenrationalen Funktionen.

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Beim Spackos Kommentar verstand ich den Sinn der Sache leider nicht

Ein Bruch ist genau dann kleiner als 0, wenn Zähler und Nenner unterschiedliches Vorzeichen haben.

Dasselbe gilt für Produkte. D.h. du kannst statt x/(x-a) < 0 auch x*(x-a)<0 betrachten. Beim Zweiten Faktor die Nullstellen bestimmen. Zwischen den beiden Nullstellen von g(x) = x*(x-a) ist das Produkt kleiner als 0 sonst nicht. 

Dann noch: Ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 und der Nenner nicht 0 ist.

Meine Skizze kannst du ergänzen mit der roten Kurve (Parabel).

~plot~ x/(x-2);x*(x-2) ~plot~

L = [0,2) 

passt sowohl für x/(x-2) ≤ 0 als auch für ( x*(x-2) ≤ 0 und x≠2  )

Answer 3

x / ( x -a ) ≤ 0

1.Fall
x - a > 0
x > a
x / ( x -a ) ≤ 0 | * ( x - a )
x ≤ x - a
0 ≤ -a
a ≤ 0

2.Fall
x - a < 0
x < a
x / ( x -a ) ≤ 0 | * ( x - a )
x ≥ x - a
0 ≥ -a
a ≥ 0

Lösungen
a ≤ 0  =>  x > a
a > 0  =>  x < a

Außerdem
x / ( x -a ) = 0
x = 0  und a ≠ 0

Comments

Nachtrag
In der PDF Aufgabenstellung heißt es
a ∈ ℝ \ {0}

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Wenn ich $$ \frac{x}{x-a} <=0 | * ( x - a )$$

auf der linken Seite bleibt x, aber wuerde, auf der rechten (0 * ( x - a )) nicht 0 ergeben?

halt: x * 0 = 0?

Dankeschoen!

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Es muss jeweils 0*(x-a) = 0 heißen.

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Hallo kondrik,
da hast du recht.

Korrektur

1.Fall
x - a > 0
x > a
x / ( x -a ) ≤ 0 | * ( x - a )
x ≤ 0

Also x ≤ 0 und x > a
( Beispiel :
x = -5  und a = -6
-5 / ( -5 - (-6 ) ) ≤ 0
-5 / + 1 ≤ 0
-5 ≤ 0
Bingo

2.Fall
x - a < 0
x < a
x / ( x -a ) ≤ 0 | * ( x - a )
x ≥ 0

Also
x ≥ 0 und x < a
( Beispiel :
x = 5  und a = 6
5 / ( 5 - 6 ) ≤ 0
5 / - 1 ≤ 0
-5 ≤ 0
Bingo

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Krass, ahaha - die Antwort ergibt ja Sinn und scheint richtig zu sein! Nur so habe ich es kapiert. Iwie anders geht leider nicht! haha

Vielen Dank =D

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Iwie anders geht leider nicht!

Doch.

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Ich meinte: irgendwie anders geht leider nicht, weil ich es nicht verstehe haha. Aber es gibt bestimmt andere Lösungswege, nur verstehe ich die nicht - nicht ganz jedenfalls.

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Na, dann solltest du dir mal die schöne Idee von Spacko ansehen, die mit lediglich einer Äquivalenzumformung und ohne Fallunterscheidung auf eine leicht zu lösende quadratische Ungleichung führt.

Das passt auch zur Größe des auf dem Aufgabenzettel für die Rechnung vorgesehenen Platzes. Außerdem ist die Aufgabe mit 4 Punkten ausgestattet, die wird es aber nicht allein schon für die richtige Lösung mit irgendeiner dazu passenden Rechnung geben, sondern auch für die Wahl eines geschickten Lösungsweges.

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Noch eine Lösungsvariante
x / ( x -a ) ≤ 0
Heißt
plus durch minus + / -
oder
minus durch plus - / +

+ / -
( x > 0 ) und ( x -a < 0 )
( x > 0 ) und ( x < a )

- / +
( x < 0 ) und ( x -a > 0 )
( x < 0 ) und ( x > a )

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Beim Spackos Kommentar verstand ich den Sinn der Sache leider nicht

Aber Kraaaaaaaass, Gastt Az 0815, und schau mal diese letzte Lösung. Wie Klasse das ist hahah

Wie kann es sein, dass ich das nicht gedacht habe? Bin so dumm

Georgborn, VIELEN DAAAANK <3