Wie berechnet man von f(x) = cos(x)^2-2sin(x)+2 die Nullstellen?

Question

Hi, könnte ihr mir bitte eine verständliche Lösungsstrategie darlegen, denn ich bekomme es überhaupt nicht hin.

f(x)=cos(x)^2-2sin(x)+2

cos(x)^2-2sin(x)+2=0

Answer 1

Es gilt \(\cos(x)^2=1-\sin(x)^2\). Wir formen also um zu:$$1-\sin(x)^2-2\sin(x)+2=0$$$$3-\sin(x)^2-2\sin(x)=0$$ Nun substituieren wir \(z=\sin(x)\)$$3-z^2-2z=0$$ Umstellen ergibt:$$z^2+2z-3=0$$ Zerlege in Linearfaktoren (oder z. B. PQ-Formel)  und erhalte:$$(z+3)(z-1)=0$$ Wir haben also die Nullstellen \(z_1=-3\) und \(z_2=1\). Nun müssen wir die Substitution auflösen. Wir haben:$$\sin(x)=-3$$$$\sin(x)=1$$ Für \(\sin(x)=-3\) gibt es keine Lösung \(x∉Ø\)

Für \(\sin(x)=1\) gilt \(x=0.5\pi+2k\pi\) für alle \(k∈ℤ\)

Comments

Hi, Danke für die schnelle und ausführliche Hilfe:)

Eine Frage besteht allerdings.

Warum kommt WolframAlpha auf

1/2(4*pi*k+pi) = 2pi*k+1/2pi

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Ach Lumpi! Das ist doch genau dasselbe:$$\frac{1}{2}(4\pi k+\pi)$$$$=2\pi k+\frac{1}{2}\pi$$

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Tja richtig lesen muss man können:) habe die 2 total überlesen:)

sry

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sry

Kann passieren. Kein Ding. Danke für den Stern :)

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Ach eine Frage habe ich gerade noch:) Wie genau kommt man auf 2pi*k?

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sin(x)=1      |arcsin(...)

x=90°  ---> π/2

Außerdem ist die sin(x)=2π und das \(k\) kommt daher, dass der Sinus periodisch ist.

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Ok, aber nehmen wir mal die normale sin Funktion

sin(x) hat doch die Nullstellen  x=pi*k , aber in den oberen Beispiel ist es 2pi, also liegt  ja eine Streckung an der x-Achse vor, bloß wo ließt man die dort ab?

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Die Periode der Funktion ist \(A\cdot \sin(Bx+C)\) ist \(P=\frac{2\pi}{B}\). Wir haben als Periode also für \(\sin(1x)=2\pi\).

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Vielleicht ist das auch eine Stauchung in x-Richtung (Streckung mit einem Faktor zwischen -1 und 1). Muss aber nicht sein.

Falls du dem genauer nachgehen möchtest: Schau mal diese Formeln an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Doppelwinkelfunktionen

~plot~ 1 -(sin(x))^2 -2 sin(x)+2 ~plot~

Eine reine Streckung in x-Richtung ist das nicht. Sieht eher nach einer Überlagerung aus.

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Ich bin jetzt erstmal weg Lumpi, ich habe morgen wieder Schule

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Bereits? Dann ab ins Bett und einen guten Start morgen!

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Vor 1:00 werde ich wahrscheinlich eh nicht schlafen! Vielleicht bin ich noch on @Lumpi, wenn du noch fragen hast.

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Erstmal Danke für die Antworten:)

Eine reine Streckung in x-Richtung ist das nicht. Sieht eher nach einer Überlagerung aus.

Ja schon irgendwie.

Aber man muss es doch irgendwie sinnvoll errechnen können ohne die ganzen Umformungen durchzuführen?

@racine berechnet man die Periode nicht über k*pi/B statt 2pi/B?

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Die Nullstellen der gegebenen Funktion korrespondieren doch viel eher zu den Minima der Sinusfunktion als zu deren Nullstellen. Die Minima haben Abstand 2π.

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@EmNero: Eher zu den Hochstellen der Sinusfunktion.

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@Gast az0815 Das ist natürlich vollkommen richtig.

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Hi, kann man dies irgendwo ablesen, oder ist hier ein Umweg nötig?

Denn so eine Aufgabe sollte laut meinem Lehrer nur 2 Minuten dauern, dies sehe ich allerdings gerade nicht:)

Answer 2

allgemein gilt:

cos^2(x) +sin^2(x)=1

cos^2(x) =1 -sin^2(x)

->eingesetzt:

1 -sin^2(x) -2 sin(x)+2 =0

-sin^2(x) -2 sin(x)+3 =0 |*(-1)

sin^2(x) +2 sin(x)-3 =0

Substituiere:

sin(x)=z

z^2 +2z -3=0 ->z.B. pq-Formel

Zum Schluß noch Resubstituieren

Comments

Auch dir ein Dankeschön für die  Lösung

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...

sin^{2}(x) + 2 sin(x) - 3 = 0

sin^{2}(x) + 2 sin(x) + 1 - 4 = 0

(sin(x) + 1)^2 - 2^2 = 0

(sin(x) - 1) * (sin(x) + 3) = 0

sin(x) - 1 = 0

sin(x) = 1 

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Hi, dennoch stellt sich für mich immer noch die Frage, wie man auf 2pi*k, also die 2 kommt.

Wir haben noch keine Differenzialrechnung, also fällt die Berechnung der Hochpunkte etc. weg.

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Die Sinusfunktion ist 2pi-periodisch.

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Die normale Sinus-Funktion hat doch die Nullstellen x=k*pi , keZ

Warum ist dies hier denn anders?

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Wenn man mal vergleicht, muss doch irgendwo ein ... sein, indem man erkennt, dass es hier anders sein muss.

sin(x)=0                          x=pi*k

cos(x)2-2sin(x)+2=0       x=2pi*k + 1/2pi

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Hier gilt, wie gezeigt:

f(x) = 0   ⇔   sin(x) = 1

Und das ist eben genau dann der Fall,

wenn x = pi/2 + 2pi*k für k ∈ ℤ ist.

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Es tut mir leid, dass ich so unfähig bin, aber woher die 2 kommt ist unerklärlich für mich, sin(x) ist auch 2 pi periodisch und dennoch steht dort pi*k und nicht 2pi*k

Ich zweifle die Richtigkeit der Lösung hier gar nicht an, ich versteh sie nur nicht

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Es geht doch gar nicht um die Nullstellen des Sinus, sondern um die Einsstellen!

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Was soll das sein?

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Sry, aber ich verstehe nicht, was du mir sagen willst

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Es gilt:

cos(x)^2 - 2sin(x) + 2 = 0

⇔   sin(x) = 1

⇔   x = pi/2 + 2pi*k für alle k ∈ ℤ.

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Ersteinmal danke für deine Hilfe, denn ich weiß wie hart es ist, Jemanden etwas zu versuche zu erkläre und er es nicht versteht.

Also du schreibst mir nun schon zum 4 mal die Lösung auf und ich weiß schon wie man das rechnet, nur verstehe ich diese 2 pi nicht.

Sinus wird doch nur null, wenn x=pi*k ist, woher weiß man hier dass es 2*pi*k ist?

Das ist dad Einzige was ich nicht verstehe

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Die Lösungsmenge besteht nicht aus den Stellen, an denen der Sinus null wird, sondern aus den Stellen, an denen er eins wird.