Kombinatorik: x-Steiner im Schachspiel

Question

Folgendes Problem möchte ich lösen. Wieviele verschiedene x-Steiner gibt es im Schachspiel? Z.B. 5-Steiner. Eine besondere Schwierigkeit dabei ist, das wegen der Umwandlungsfähigkeit der Bauern auch 5-Steiner wie KDDD:K (König und 3 Damen gegen König) erlaubt sind.

Folgende Vorgehensweisen dachte ich mir und verwarf sie:

1)
Von jeder Art (ausgenommen Könige) kommt eine Figur in die Urne (DTLSBdtlsb) und bilde dann

a) eine Permutation mit Wiederholung. Probleme: Die Reihenfolge wird berücksichtigt und ich brauche nur eine Teilmenge.

b) eine Variation mit Wiederholung. Ich habe nun eine Teilmenge. Problem: Die Reihenfolge wird weiterhin berücksichtigt.

c) eine Kombination mit Wiederholung. Nun habe ich eine Teilmenge ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Problem: Ab x > 9 funktioniert das nicht mehr, weil z.B. 12-Steiner wie KDDDDDDDDDD:K ein false positiv sind, mehr als 9 Damen (Dame plus 8 umgewandelte Bauern) sind unmöglich.


2)
Jede Figur (ausgenommen Könige) kommt in die Urne (DTTLLSSBBBBBBBBdttllssbbbbbbbb) und bilde dann

a) eine Permutation ohne Wiederholung. Probleme: s. 1a)

b) eine Variation ohne Wiederholung. Problem: s. 1b)

c) eine Kombination ohne Wiederholung. Probleme: K B1 B2 : K und K B7 B8 : K werden als unterschiedlich gewertet, sind aber identisch und einfach nur KBB:K.


3)
In die Urne kommt (9xD 10xT 10xL 10xS 8xB 9xd ...)

a) b) Probleme: s. 2)

c) eine Kombination ohne Wiederholung. Probleme: s. 2c) und weiterhin müßte die Anzahl der Bauern gegebenfalls dynamisch verringert werden.


Hier weiß ich nicht mehr weiter ....

Comments

Was ist ein x-Steiner? Ist das einfach eine (x-2)-elementige Multimenge über {D, T, L, S, B, d, t, l, s, b}? oder sollen die Figuren auch noch aufs Brett gestellt werden?

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In dem Problem geht es nicht um konkrete Stellungen, sondern nur um die Materialverteilung.

Answer 1

Das Problem wird anschaulicher, wenn man die 32 Figuren durch Kugeln ersetzt, die von 1-32 nummeriert sind. Von diesen 32 Kugeln fallen 2 weg (zwei Könige), denn die müssen immer übrig bleiben, ansonsten wäre das Spiel vorzeitig zu Ende.

Für einen 5-Steiner z.B. ist nach der Anzahl der Möglichkeiten gefragt 3 (=5-2) aus 30 Kugeln zu ziehen.

Das wäre "30 über 3" = 30! / (3! * 27!) = 4060

Die Farbe der Restfiguren spielt keine Rolle, weil mindestens ein gegnerischer König vorhanden ist.

Allgemein gilt also für einen n-Steiner (n > 2) :

Anzahl der Möglichkeiten = 30! / ( (n-2)! * (30-n+2)!)

Die Anzahl aller möglichen Umwandlungen ist meiner Ansicht nach bereits enthalten, weil eine umgewandelte Kugel aus dem Spiel entfernt und durch eine andere ersetzt wird. Diese Umwandlung ändert nichts an der Anzahl der finalen Möglichkeiten, weil die Anzahl der Kugeln gleich bleibt.

Die in der Frage beschriebenen Situationen KKDDD und KKBBB sind nur spieltechnisch zu unterscheiden, aber nicht kombinatorisch.

Comments

Für einen 5-Steiner ist 1c) die Lösung. Selbst 10³ ist nur 1000 und dabei wird immernoch die Reihenfolge berücksichtigt, meint KDTL:K wird nicht als identisch mit KDLT:K gewertet.