eine Partialsummenfolge ist einfach eine Folge von Summanden, die aufaddiert werden. Man schreibt eine Partialsumme kurz als $$ s_n.$$
Du addierst also die ersten n Summanden auf. Der Summand besteht aus einem beliebigem Bildungsgesetz $$ a_n.$$
Die Partialsumme davon sähe ausgeschrieben dann so aus:
$$ s_n=a_1+a_2+...+a_n.$$
Nun kann aber so eine Summe sehr lang werden. Das kann somit zeitaufwendig sein jedesmal diese Summe neu zu berechnen, weshalb man auch immer versucht eine Summenformel für die Summanden zu finden. Und um das schön kurz zu schreiben, führt man ein neues Symbol ein, das Sigmazeichen.
$$ s_n=\sum_{k=0}^n a_k.$$
k ist hierbei der Laufindex, also welcher k-te Summand gerade angesprochen wird und n steht oben als Obergrenze.
Nun zu deiner Problemstellung. Betrachte doch für die Partialsumme einfach mal die ersten 8 Summanden und addiere beginnend vom ersten immer den nächsten k-ten auf. Dann sollte man eine Regelmäßigkeit erkennen, also
$$s_1=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}\\s_2=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$$
Wenn du dann der Meinung bist die Summenformel gefunden zu haben, musst du sie beweisen, per vollständiger Induktion.
Dann sollst du damit eine Grenzwertbetrachtung vornehmen, also was der SUMMENWERT für n gegen Unendlich ergibt. Damit betrachtest du nicht mehr eine Partialsumme, sondern eine Reihe, allgemein dann so geschrieben
$$ R=\sum_{k=0}^\infty a_k =a_0+a_1+... $$
