Taylorreihe von f(x) = xln(x), allgemeines Glied

Question

Aufgabe:

Enwickeln Sie die Funktion f(x)=x*ln(x) an der Stelle x₀=1 in eine Taylorreihe, geben Sie dabei das allgemeine Glied mit an und berechnen Sie dann mit den ersten drei Gliedern näherungsweise den Funktionswert an der Stelle x=3/2.

Wie würde die Lösung hierfür aussehen ? Ich habe heute morgen eine Klausur geschrieben und bin nicht auf das allgemeine Glied gekommen.
Und was ist bei "berechnen Sie dann mit den ersten drei Gliedern näherungsweise den Funktionswert an der Stelle x=3/2." gefragt ?

Answer 1

Die n-te Ableitung  ist wohl für n>1     (-1)^{n+1} * (n-2)! / x^{n-1}

also an der Stelle 1        (-1)^{n+1} * (n-2)!

Dann ist für n>1 der n-te Summand der Taylorreihe

 (  (-1)^{n+1} * (n-2)!   / n!     ) * ( x-1)^n

=  (  (-1)^{n+1}   / (n*(n+1))   ) * ( x-1)^n

Das wird wohl mit allgemeinem Glied gemeint sein.

Dann gilt also ( für die ersten 3 Glieder)

f(3/2) ≈ f(1) + f ' (1) *(x-1) + f ' ' (x) * (x-2)^2

         = 0 +  1* 0,5  + 1 *0,5^2 =  0,75

im Vergleich zum genauen Wert  0,608...

Answer 2

Mit dem allgemeinen Glied meint man den k-ten Summanden der Reihe. Du musst dafür eine Formel finden, mit der du die k-te Ableitung von deiner Ausgangsfunktion berechnen kannst. $$f^{(0)}=x\cdot \ln(x)\\f^{(1)}(x)=\ln(x)+1\\\vdots \\f^{(k)}(x)=?$$

Mit den ersten drei Gliedern ist einfach nur gemeint, dass du f(1,5) nur mit den ersten drei Summanden deiner Reihe berechnen sollst, was dann nur eine Näherungslösung ist. Also so in der Struktur eben:

$$ f(1,5)\approx \frac{f^{(0)}(1)}{0!}\cdot (1,5-1)^0+\frac{f^{(1)}(1)}{1!}\cdot (1,5-1)^1+\frac{f^{(2)}(1)}{2!}\cdot (1,5-1)^2.$$