Aloha :)
Wir bestimmen nur das Taylorpolynom 2-ter Ordnung, weil daraus das Taylorpolynom 1-ter Ordnung als Nebenprodukt abfällt. Dazu benötigen wir die ersten beiden Ableitungen der Arcuscosinus-Funktion:$$y=\arccos x\quad\implies\quad x=\cos(y)\quad\implies$$$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{d}{dy}(\cos y)}=\frac{1}{-\sin y}=\frac{-1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=\frac{-1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$$$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=-\frac{d}{dx}(1-x^2)^{-\frac12}=\frac12(1-x^2)^{-\frac32}\cdot(-2x)=\frac{-x}{(1-x^2)^{\frac32}}$$
Speziell am Entwicklungspunkt \(x_0=0\) gilt daher:$$f(x_0)=\frac\pi2\quad;\quad f'(x_0)=-1\quad;\quad f''(x_0)=0$$Jetzt bekommt die Aufgabenstellung einen anderen Sinn, weil der Term 2-ter Ordnung wegfällt:$$\arccos x\approx f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)+\frac12f''(x_0)\cdot(x-x_0)^2$$$$\arccos x\approx \frac\pi2-x$$
