Aufgabe 1. Es sei \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) mit \(f(x)=\begin{cases} \frac { sin(2x) }{ sin(x) }&\text{ falls }x\notin \left\{ k\cdot \pi :k\in \mathbb{Z} \right\} \\ { (-1) }^{ k }&\text{ falls } x=k\cdot\pi \text{ für ein }k\in\mathbb{Z} \end{cases}\). Bestimmen Sie die Nullstellen und die Periode von \(f\).
Meine Lösung: \(\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}=\cos(x)=0\iff x=\frac{\pi}{2}+\pi\cdot k\) mit derPeriode \(\pi\).
Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass die Funktion \(x\mapsto\sin(x+\frac{\pi}{4})-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\) im Spann der reellen Funktion \(\sin(x), \cos(x)\) enthalten ist.
Meine Lösung: Wir müssen zeigen, dass sich die Funktion
\(x\mapsto\sin(x+\frac{\pi}{4})-\cos(x-\frac{\pi}{6})\)
als Linearkombination von \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) darstellen lässt. Es soll also gelten
\(a\cdot\cos(x)+b\cdot\sin(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\).
Also:
\begin{aligned}
&\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right) \\ =\,&\sin(x)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos(x)-\left(\cos(x)\cdot\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)-\sin(x)\cdot\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\\
\\ =\,&\sin(x)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos(x)-\left(\cos(x)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin(x)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\\
\\ =\,&\sin(x)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\cos(x)-\cos(x)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)-\sin(x)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\\
\\ =\,&\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(x)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(x)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)-\frac{1}{2}\sin(x)\\
\\ =\,&\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\cos(x)+\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\sin(x),
\end{aligned}
wobei \(a=\frac{2-\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\) und \(b=\frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\), mit \(a,b\in\mathbb{R}\).
Könnte dies so stimmen? Bin mir extrem unsicher.
Vielen Dank wie immer im Voraus :)
