Konfidenzintervall für Wahrscheinlichkeit 500 Würfe eines Kuboktaeders

Question

Ein Kuboktaeder ist ein Körper, der durch Abschneiden der Ecken eines Hexaeders entsteht. Die Oberfläche besteht aus sechs gleich großen Quadraten und aus acht gleichseitigen Dreiecken. Die dreieckigen Flächen haben an der gesamten Oberfläche einen Anteil von ca. 36,6 %.

a) In 500 Würfen lag 116 mal die dreieckige Fläche oben. Untersuchen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür sein könnte, dass ein Kuboktaeder auf einer dreieckigen Fläche liegen bleibt. Bestimmen Sie ein 90% Konfidenzintervall für die gesuchte Wahrscheinlichkeit p.

b) Wie oft müsste man das Kuboktaeder werfen, damit man die gesuchte Wahrscheinlichkeit p mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90 % auf einen Prozentpunkt genau bestimmen kann?

Comments

Für die b) könntest du eventuell folgende Formel in Erwägung ziehen:$$n≥\frac{4\cdot \sigma^2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2}{l^2}=\frac{4\cdot \sigma^2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2}{e^2}$$ Wobei \(l=2\cdot z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) Du bräuchtest nur einen Schätzer für die Standardabweichung...!

Aber OHNE GEWÄHR!

Answer 1

a)

Du errechnest erstmal den Maximum-Likelihood-Parameter mit:$$\bar{p}=\frac{k}{n}$$$$\bar{p}_{Dreieck}=\frac{116}{500}$$ Oft verwendet man nun die folgende einfache Näherungsformel:$$c=\Phi^{-1}\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)$$ Wobei \(\alpha=1-\gamma\) das Irrtumsniveau bezeichnet. Das Konfidenzintervall \([p_u,p_o]\) wird nun durch folgende Formeln berechnet:$$p_u=\bar{p}-c \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}\cdot (1-\bar{p})}{n}}$$$$p_o=\bar{p}+c \cdot \sqrt{\frac{\bar{p}\cdot (1-\bar{p})}{n}}$$ Vorab berechnen wir aber erstmal das \(c\):$$c=\Phi^{-1}\left(1-\frac{0.1}{2}\right)$$ Nach ablesen aus einer Tabelle erhalte ich \(c=1.644850\). Nun einfach in die Formeln einsetzen:$$p_u=\frac{116}{500}-1.644850 \cdot \sqrt{\frac{\frac{116}{500}\cdot (1-\frac{116}{500})}{500}}≈ 0.201$$$$p_u=\frac{116}{500}+1.644850 \cdot \sqrt{\frac{\frac{116}{500}\cdot (1-\frac{116}{500})}{500}}≈ 0.263$$ Wir haben also das Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit mit einem 90%igen Konfizdenniveau:$$[0.201,0.263]$$

Comments

Das wäre die einfache Approximation durch die Normalverteilung. Außerdem gibt es noch:

Clopper-Pearson-Intervall

Wilson-Intervall

Agresti-Coull-Intevall

Ich denke, dass die Aproximation durch die Normalverteilung aber am gängisten sein sollte.