Wurzel aus unendlicher Summe von Wurzeln berechnen? √(1 + ³√(1 + ⁴√(1 + ⁵√(1 + … )))) = ?

Question

Hallo ,

ich habe diese Aufgabe und bitte um Hilfe .

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar .

Wurzel aus unendlicher Summe von Wurzeln berechnen? √(1 + ³√(1 + ⁴√(1 + ⁵√(1 + … )))) = ?

Comments

Das ist ganz einfach, probiere es mal mit 1,2 und 3 Wurzeln:

\(\sqrt{1}= \sqrt{1}\)

\(\sqrt{1+\sqrt[3]{1}} = \sqrt{2}\)

\(\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1}}} = \sqrt{3}\)

\(\vdots\)

\(\sqrt{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{1+\dots+\sqrt[\infty]{1}}}} = \sqrt{?}\)

Daraus kannst du schlussfolgern, wie es für \(n\)-verschiedene Wurzeln aussehen wird bzw. für \(\infty\)-verschiedene Wurzeln.

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So einfach ist es wohl nicht.

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Dann bin ich gespannt auf deinen/andere Ansatz/Ansätze!

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Mit drei Wurzeln kommt nicht wurzel 3 raus.

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Müsste stimmen.

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Hmm, hast Recht.

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Es kommt $$ \sqrt{1+\sqrt[3]{2}} $$ oder?

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Nähert sich wahrscheinlich irgendeinem Wert an. Kann ein Admin meine Antwort löschen? War wohl ein bisschen daneben. :D

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Nähert sich wahrscheinlich irgendeinem Wert an. Kann ein Admin meine Antwort löschen? War wohl ein bisschen daneben. :D

Ich habe deine Antwort in einen Kommentar umgewandelt. Die Diskussion ist durchaus lesenswert.

Answer 1

wirkliche Hilfe kannst hier dazu kaum Erwarten, da das Problem nicht trivial ist.

Bessere Ansätze findest du hier:

https://math.stackexchange.com/questions/2683488/what-is-the-value-of-sqrt1-sqrt31-sqrt41-sqrt51-cdots

Comments

Das ist doch offenbar die Quelle des Screenshots in der Frage.

Answer 2

Wenn man abbrechende Summen immer größerer Länge bildet, nähert man sich einer Zahl in der Nähe von 1,5176. Gibt es eine bekannte irrationale Zahl in dieser Größenordnung?

Comments

Pi/2 würde mir da nur einfallen, aber das wären ≈1,571.

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Daran hatte ich auch gedacht, aber das ist es nicht. Die 28ste Wurzel aus 118142 liegt noch dichter dran, aber ist es auch nicht.

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Ich habe mal eine weile gegoogelt und folgendes auf stackexchange gefunden:
https://math.stackexchange.com/questions/267534/calculate-the-limit-of-this-sequence-sqrt1-sqrt1-sqrt1-sqrt1

https://math.stackexchange.com/questions/115501/sqrtc-sqrtc-sqrtc-cdots-or-the-limit-of-the-sequence-x-n1-sq

Vielleicht hilft das jemandem hier...