Vektoren im kartesischen Koordinatensystem. O, A, B, C, D sind Eckpunkte des schiefen Prismas OABCDEFG

Question

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte O(0/0/0), A(6/4/-2), B(0/16/-8), C(-6/4/-2) und D(0/8/11) Eckpunkte eines schiefen Prismas OABCDEFG mit viereckiger Grundfläche OABC (siehe Abbildung).

a) (1) Stellen Sie eine Parameter- und eine Koordinatengleichung der Ebene H auf, die die Punkte O, A und B enthält.
LÖSUNG: da habe ich
Parameterform:
(6/4/-2)+r(-6/-4/2)+s(-6/12/6)
Koordinatenform:
X2+2x=0


B)
Bestimmen Sie eine Parameterform der Geraden g, die H senkrecht schneidet und durch D verläuft.
Da habe ich (0/3/1)+t(0/-2/-4)

C)
Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden g und der Ebene H.
Da habe ich S(0/2/-1)

Sooo und ab hier weiss ich absolut gar nichts mehr.
Ich würde mich über ein Rechenweg sehr freuen :)

2. Zeigen Sie, dass die Diagonalen AC und OB des Vierecks OABC zueinander senkrecht AC

3. Nach Aufgabe 2) ist das Viereck OABC ein Drachenviereck. (2) Bestimmen Sie das Volumen des Prismas OABCDEFG


4. Es gibt Ebenen, die das Prísma in zwei volumengleiche Teile zerlegen.

 (1) Beschreiben Sie die Lage zweier dieser Ebenen
(2) Begründen Sie Volumengleichheit der beiden Teilkörper für einen der beiden Schnitte aus 4.1

Vielen vielen lieben Dank

Eure Silvia

Answer 1

Hallo

 mit der Koordinatenform der Ebene , die du hingeschrieben hast kann ich nix anfangen, so ist sie falsch. die Parameterform ist richtig.

Damit komm ich auch nicht auf deine Gerade g. und c) hab ich dann nicht geprüft,

zu 2) Skalarprodukt der Vektoren AC und OB bilden, das muss 0 sein.

zu 3)  Drachenviereck Fläche = Produkt der Längen der Diagonalen, dann mal Höhe. ,

zum Rest fehlt mir die Skizze,

Gruß lul

Answer 2

Das Viereck ist ein Drachenviereck. Lösungsskizze:

Wenn die Ebene schon durch O geht, dann nehm ich den Punkt auch für die Parameterform:

\( H_E(r, s) \, :=  \, r \;  \left(6, 4, -2 \right) + s \;  \left(0, 16, -8 \right) \)

Die Normalenform

\(H1: \,  \left(A \otimes B \right) \;  \left(x, y, z \right) = 0\)

ergibt dann

H1: y + 2 * z = 0

g aus D und Normalenvektor H1

\(g(t): \vec{x} = D + t \;  \left(0, 1, 2 \right) \)

g ∈ H1

\(5 \; t_o + 30 = 0, t_o=-6\)

S = g(-6) = (0,2,-1)

AC⊥ OB

\( \left(C - A \right) \;  \left(B - O \right) = 0 \)

\(V_{OABCDEFG}= \left( \left(A - O \right) \otimes  \left(B - A \right) \right) \;  \left(D - A \right) =1440\)

Teilen wir OABCEDFG entlang der Mittelebene OBG

G=(-6,4,13)

H_{OBG}:=(G⊗B)((x,y,z))/48=0

\(H_{obg}: \, -5 \; x - y - 2 \; z = 0\)

oder auf Höhe AD/2 parallel zu H_E

H_{ad}:=(0,1,2) ((x,y,z)-(A+(D-A)/2))=0

\(H_{ad}: \, y + 2 \; z - 15 = 0\)

Das Bild liefere ich dann dazu...