Berechne die Koordinaten der Eckpunkte D, E, F und das Volumen V des Prismas!

Question

Aufgabe:

Von einem geraden dreiseitigen prisma mit der Grundfläche ABC und der deckfläche DEF kennt man A=(0|0|0), B=(2l7l-10), C=(-2|-1|4) und D=(6|y|z).

Problem/Ansatz:

Berechne die Koordinaten der Eckpunkte D, E, F und das Volumen V des Prismas!

Answer 1

Du musst einen Normalenvektor zur Ebene durch A, B und C finden.

Bilde dazu das Vektorprodukt der Ortsvektoren von B und C.

\( \vec{b} \times \vec c =\begin{pmatrix} 2\\7\\-10\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -2\\-1\\4 \end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 18\\12\\12\end{pmatrix}\\=3*\begin{pmatrix} 6\\4\\4\end{pmatrix}\)

Da das Prisma gerade ist, liegt D auf der Orthogonalen zur Grundfläche, die durch A verläuft. Wir kennen bereits die erste Koordinate 6 von D. Deshalb habe ich den Faktor 3 beim Vektorprodukt vorgezogen.

Damit ist D(6|4|4).

Der Vektor \( \begin{pmatrix} 6\\4\\4\end{pmatrix} \) muss nun noch zu den Ortsvektoren von B und C addiert werden, um E und F zu bekommen. Die Ergebnisse stehen in deinem Kommentar.

Für das Volumen brauchst du den Flächeninhalt des Dreiecks. Das ist der halbe Betrag des oben berechneten Vektorprodukts, der ja dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht..

\(2A=\left|\begin{pmatrix} 18\\12\\12\end{pmatrix}\right|=\sqrt{18^2+12^2+12^2}=\sqrt{612}\\ A=\sqrt{153}\)

Die Höhe ist gleich dem Betrag des Vektors \(\overrightarrow{AD}:\\ h=|\overrightarrow{AD}|=\sqrt{6^2+4^2+4^2}=\sqrt{68}\)

Wenn du nun A*h ausrechnest, kommst du auf V=102.

:-)

Comments

Vielen vielen Dank für die Antwort bis dahin hab ich’s verstanden

Aber wie rechne ich dann weiter zum Ergebnis: D=(6/4/4), E=(8/11-6), F=(4/3/8),V=102

bitte um dringende Hilfe und Lösungsweg !!!!danke schon vorab !!!u

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Hallo,

ich rechne gerade selbst und ergänze meine Antwort.

:-)

Answer 2

AB = [2, 7, -10]
AC = [-2, -1, 4]

N = [2, 7, -10] ⨯ [-2, -1, 4] = [18, 12, 12] = 3·[6, 4, 4]

D = [0, 0, 0] + [6, 4, 4] = [6, 4, 4]
E = [2, 7, -10] + [6, 4, 4] = [8, 11, -6]
F = [-2, -1, 4] + [6, 4, 4] = [4, 3, 8]

V = 1/2·|[18, 12, 12]·[6, 4, 4]| = 102

Comments

Danke dir nochmals sehr für die schnelle Antwort

eines verstehe ich noch nicht warum:

in der dritten Zeile: 3*[6|4|4]

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3*[6|4|4]

Weil man direkt sieht das [6, 4, 4] der gewünschte Richtungsvektor von A zu D ist. Und da AD ein Vielfaches von N sein muss zieht man bei N den Faktor 3 einfach heraus.

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Super Danke für die hilfreiche Erklärung

Answer 3

Die Höhe des geraden Prismas steht senkrecht auf der Grundfläche ABC, also verläuft sie entlang \( \vec{AB} \) ×\( \vec{AC} \)=\( \begin{pmatrix} 18\\12\\12 \end{pmatrix} \). Wegen \( \frac{1}{3} \)·\( \vec{AB} \) ×\( \vec{AC} \)=\( \begin{pmatrix} 6\\4\\4 \end{pmatrix} \) ist D(6|4|4). (2l7l-10)+(6,4,4)=E(8,11,-6) und (-2|-1|4) +(6,4,4)=F(4,3,8).

Das Volumen ist das halbe Spatprodukt aus \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) und \( \vec{AD} \).

Comments

Das Volumen ist das Spatprodukt aus \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) und \( \vec{AD} \).

Das ist falsch.