Optimierung Differentialrechnung

Question

Ein Unternehmen besitzt aufgrund eines Patents ein Monopol auf einen Wirkstoff, der von der Pharmaindustrie nachgefragt wird. Die Nachfragefunktion nach diesem Produkt lautet bei einem Preis p:

D(p):x=200e−0.01p0<x<200; x in Tonnen.

Die Produktionskosten sind eine lineare Funktion der Ausbringungsmenge x: C(x)=1500+50x.  Welchen Gewinn erzielt das Unternehmen, wenn es seinen Erlös maximiert?

Kann mir bitte jemand hier helfen? Raus kommen sollte 2178.8.

Answer 1

Erlös abhängig vom Preis ist

Preis pro Tonne mal wieviel Tonnen,  also

E(p) = p*200*e^{-0,01p}

E ' (p) = (200-p)*e^{-0,01p}

also E'(p)=0   für   p=100 .

Dann ist der Erlös  20000e^{-1} ≈ 7357,59.

Und die Menge ist D(100) = 73,58

Und der Gewinn E(100) - C(73,58) = 20000e^{-1} - (1500+50*73,58)

= 20000e^{-1} - 5178,79   ≈ 2178,79

Comments

Als Ergebnis sollte jedoch 2178 heraus kommen.

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Ich hatte bei den Produktionskosten den Preis und

nicht die Menge eingesetzt.

Ist jetzt korrigiert.

Answer 2

G=E-K
=p*d(p)-C(d(p))
=p*200*e^{-0,01p}-1500-50*200e^{-0,01p}
= -1500 + e^{-0,01p}*(200p-10.000)
G'(p)=200*e^{-0,01p}+(200p-10.000)*(-0,01)*e^{-0,01p}
=200*e^{-0,01p}+(-2p+100)*e^{-0,01p}
=e^{-0,01p}*(200+100-2p)=0
300=2p
p=150
x=200*e^{-0,01*150}=44,6≈45

Comments

Das wäre aber die Maximierung vom Gewinn,

nicht vom Erlös.

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berechtigter Einwand