Das Problem wurde in der Datenbank der Integer-Sequenzen genannt.
https://oeis.org/A263356
Man kommt wiefolgt dorthin:
Seien xE und xL die x-Werte der Schnittpunkte einer Tangenten mit der Exponential- (E) und Logarithmusfunktion (L).
Der Anstieg ist dann (wegen der Ableitungen E: \( ({ e }^{ x_{ E }})' = { e }^{ x_{ E }} \) und L: \( (\log(x))'=\frac{1}{x} \) ):
\( { e }^{ x_{ E } }=\frac { 1 }{ x_{ L } } \rightarrow { e }^{ - x_{ E } }= x_{ L } \) (1)
Das Absolutglied ist \( f(x)-x \cdot f'(x) \) ,
somit folgt für E: \( { e }^{ x_{ E } } - x_{ E } \cdot { e }^{ x_{ E } } = { e }^{ x_{ E } } (1- x_{ E }) \) und für L: \( \log(x_{ L }) - x_{ L } * \frac{1}{x_{ L }} = \log(x_{ L }) - 1 \) , dass
\( { e }^{ x_{ E } } (1- x_{ E }) = \log(x_{ L }) - 1 \) (2)
Setzt man (1) in (2) ein, dann ergibt sich \( { e }^{ x_{ E } } (1- x_{ E }) = \log({ e }^{ - x_{ E } }) - 1 \)
und man kann \( x_{ E } \) ermitteln als $$ { e }^{ x_{ E } } = \frac{ x_{ E } +1}{x_{ E }-1} $$ ( https://www.wolframalpha.com/input/?i=Exp(x)*(1-x)%3DLog(1%2FExp(x))-1 ) .
Es ergeben sich die beiden Lösungen \( x_{ E } = \pm 1.543404638... \) (das ist die genannte Integer Sequenz).
Somit ist der Anstieg der Tangente \( A={ e }^{ x_{ E } } \) und ihr Absolutglied \(B={ e }^{ x_{ E } } (1- x_{ E }) \), und den Schnittpunkt mit der Gerade \( y_{S} = x_{S} \) erhält man als:
\( x_{S} = y_{S} = A \cdot x_{S}+ B =x_{S} \cdot { e }^{ x_{ E } } +{ e }^{ x_{ E } }(1-x_{ E } ) \rightarrow x_{S} (1- { e }^{ x_{ E } }) = { e }^{ x_{ E } }(1-x_{ E } ) \), somit die Lösung
$$ x_{S} = \frac{ { e }^{ x_{ E } } \cdot (1-x_{ E } )}{1- { e }^{ x_{ E } }} =\frac{ { e }^{ x_{ E } } }{1- { e }^{ x_{ E } }} \cdot (1-x_{ E } ) $$
und dann ist \( x_{S} =0.6910... \) (für beide Lösungen von xE).
Eine explizite algebraische Lösung erscheint nicht möglich, da diese auch nicht für \( x_{E} \) existiert.
